与えられた条件を満たす2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。 (1) $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{2}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2}$ (2) $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\sqrt{3}$

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。

(1) $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{2}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2}$

(2) $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\sqrt{3}$

2. 解き方の手順

ベクトルの内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ を利用して $\cos \theta$ を求め、$\theta$ を求めます。

(1)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ より、

$\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cos \theta$

$\sqrt{2} = 2 \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{4}$

(2)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ より、

$-\sqrt{3} = 1 \cdot 2 \cos \theta$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\theta = \frac{5\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}$

(2) $\theta = \frac{5\pi}{6}$