全体集合 $U$ と、その部分集合 $A$, $B$ について、要素の個数が $n(U)=100$, $n(A)=60$, $n(B)=40$, $n(A \cap B) = 15$ であるとき、次の集合の要素の個数を求める問題です。 (1) $\overline{A}$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ と、その部分集合 $A$, $B$ について、要素の個数が $n(U)=100$, $n(A)=60$, $n(B)=40$, $n(A \cap B) = 15$ であるとき、次の集合の要素の個数を求める問題です。

(1) $\overline{A}$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ について:

$\overline{A}$ は $A$ の補集合なので、$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$ で求められます。

$n(\overline{A}) = 100 - 60 = 40$

(2) $A \cup B$ について:

$A \cup B$ の要素の個数は、和集合の公式 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ で求められます。

$n(A \cup B) = 60 + 40 - 15 = 85$

(3) $\overline{A} \cap B$ について:

$\overline{A} \cap B$ は、$B$ から $A \cap B$ の部分を取り除いたものなので、$n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$ で求められます。

$n(\overline{A} \cap B) = 40 - 15 = 25$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$ について:

$\overline{A} \cap \overline{B}$ は、ド・モルガンの法則により $\overline{A \cup B}$ と同じです。したがって、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$ で求められます。

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 100 - 85 = 15$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A}) = 40$

(2) $n(A \cup B) = 85$

(3) $n(\overline{A} \cap B) = 25$

(4) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 15$