母音 a, i, u, e の4個と子音 b, c, d, f の4個を1列に並べるとき、次の条件を満たす並べ方は何通りあるかを求める問題です。 (1) 子音4個が続いて並ぶ。 (2) 母音と子音が交互に並ぶ。 (3) 両端が子音である。 (4) 特定の母音2個が隣り合わない。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

母音 a, i, u, e の4個と子音 b, c, d, f の4個を1列に並べるとき、次の条件を満たす並べ方は何通りあるかを求める問題です。

(1) 子音4個が続いて並ぶ。

(2) 母音と子音が交互に並ぶ。

(3) 両端が子音である。

(4) 特定の母音2個が隣り合わない。

2. 解き方の手順

(1) 子音4個が続いて並ぶ場合

まず、子音4個をひとまとめにして1つのものと考え、母音4個と合わせて5個を並べる順列を考えます。

その並べ方は $5!$ 通りです。

次に、ひとまとめにした子音4個の並べ方を考えます。これは $4!$ 通りです。

したがって、求める並べ方は $5! \times 4!$ 通りです。

(2) 母音と子音が交互に並ぶ場合

母音と子音の数が同じなので、母音と子音が交互に並ぶためには、先頭が母音の場合と子音の場合が考えられます。

母音が先頭の場合、母音と子音が交互に並ぶ順番は「母,子,母,子,母,子,母,子」となります。母音の並べ方は $4!$ 通り、子音の並べ方も $4!$ 通りなので、$4! \times 4!$ 通りです。

子音が先頭の場合、母音と子音が交互に並ぶ順番は「子,母,子,母,子,母,子,母」となります。子音の並べ方は $4!$ 通り、母音の並べ方も $4!$ 通りなので、$4! \times 4!$ 通りです。

したがって、求める並べ方は $4! \times 4! + 4! \times 4! = 2 \times 4! \times 4!$ 通りです。

(3) 両端が子音である場合

まず、両端の子音の選び方を考えます。4個の子音から2個を選んで並べるので、 $4P2 = 4 \times 3 = 12$ 通りです。

次に、残りの6個の文字（母音4個と子音2個）を並べる順列を考えます。これは $6!$ 通りです。

したがって、求める並べ方は $12 \times 6!$ 通りです。

(4) 特定の母音2個が隣り合わない場合

まず、全ての並べ方から特定の母音2個が隣り合う場合を引くことを考えます。

全ての並べ方は $8!$ 通りです。

特定の母音2個をひとまとめにして1つのものと考え、残りの6個の文字と合わせて7個を並べる順列を考えます。その並べ方は $7!$ 通りです。

特定の母音2個の並べ方は $2!$ 通りなので、特定の母音2個が隣り合う並べ方は $7! \times 2!$ 通りです。

したがって、求める並べ方は $8! - 7! \times 2!$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) $5! \times 4! = 120 \times 24 = 2880$ 通り

(2) $2 \times 4! \times 4! = 2 \times 24 \times 24 = 1152$ 通り

(3) $12 \times 6! = 12 \times 720 = 8640$ 通り

(4) $8! - 7! \times 2! = 40320 - 5040 \times 2 = 40320 - 10080 = 30240$ 通り