$x, y$ は実数であり、$x^2 - xy + y^2 = 1$ を満たす。$t = x + y$ とおくとき、以下の問いに答える。 (1) $xy$ を $t$ を用いて表せ。 (2) $t$ の値の範囲を求めよ。 (3) $2x + 3xy + 2y$ の最大値および最小値と、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x, y$ は実数であり、$x^2 - xy + y^2 = 1$ を満たす。$t = x + y$ とおくとき、以下の問いに答える。

(1) $xy$ を $t$ を用いて表せ。

(2) $t$ の値の範囲を求めよ。

(3) $2x + 3xy + 2y$ の最大値および最小値と、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $t = x + y$ より、$t^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$。与えられた条件 $x^2 - xy + y^2 = 1$ を用いると、$x^2 + y^2 = 1 + xy$。したがって、$t^2 = 1 + xy + 2xy = 1 + 3xy$。

よって、$3xy = t^2 - 1$ より、$xy = \frac{t^2 - 1}{3}$。

(2) $x, y$ は実数であるから、$x, y$ を解とする2次方程式は実数解を持つ。

$x + y = t$, $xy = \frac{t^2 - 1}{3}$ より、$x, y$ は2次方程式 $u^2 - tu + \frac{t^2 - 1}{3} = 0$ の解である。

この2次方程式が実数解を持つためには、判別式 $D$ が $D \geq 0$ である必要がある。

$D = t^2 - 4 \cdot \frac{t^2 - 1}{3} = t^2 - \frac{4}{3}t^2 + \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}t^2 + \frac{4}{3} \geq 0$

$-t^2 + 4 \geq 0$

$t^2 \leq 4$

$-2 \leq t \leq 2$

(3) $2x + 3xy + 2y = 2(x + y) + 3xy = 2t + 3 \cdot \frac{t^2 - 1}{3} = 2t + t^2 - 1 = t^2 + 2t - 1$

$f(t) = t^2 + 2t - 1$ とおくと、$f(t) = (t + 1)^2 - 2$。

$-2 \leq t \leq 2$ の範囲で $f(t)$ の最大値、最小値を考える。

最小値は、$t = -1$ のとき $f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2$。

$t = x + y = -1$ より、$y = -1 - x$。これを $x^2 - xy + y^2 = 1$ に代入すると、

$x^2 - x(-1 - x) + (-1 - x)^2 = 1$

$x^2 + x + x^2 + 1 + 2x + x^2 = 1$

$3x^2 + 3x = 0$

$3x(x + 1) = 0$

$x = 0, -1$

$x = 0$ のとき、$y = -1$, $x = -1$ のとき、$y = 0$。

したがって、最小値は $-2$ で、そのときの $(x, y) = (0, -1), (-1, 0)$。

最大値は、$t = 2$ のとき $f(2) = (2 + 1)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$。

$t = x + y = 2$ より、$y = 2 - x$。これを $x^2 - xy + y^2 = 1$ に代入すると、

$x^2 - x(2 - x) + (2 - x)^2 = 1$

$x^2 - 2x + x^2 + 4 - 4x + x^2 = 1$

$3x^2 - 6x + 3 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

$y = 2 - x = 1$

したがって、最大値は $7$ で、そのときの $(x, y) = (1, 1)$。

3. 最終的な答え

(1) $xy = \frac{t^2 - 1}{3}$

(2) $-2 \leq t \leq 2$

(3) 最大値 $7$ ($x = 1, y = 1$), 最小値 $-2$ ($x = 0, y = -1$ または $x = -1, y = 0$)