与えられた行列について、逆行列を求める問題です。 (1) 零行列 (2) 単位行列 (3) 正則行列A, B の積AB (4) 正則行列A, B の和 A+B (5) (1 2) (6) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ (7) $\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ (8) (2025) (9) $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ (10) $\begin{pmatrix} 4 & -6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}$ (11) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ (12) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

はい、承知いたしました。それでは、与えられた問題について、順に逆行列を求めていきます。

1. 問題の内容

与えられた行列について、逆行列を求める問題です。

(1) 零行列

(2) 単位行列

(3) 正則行列A, B の積AB

(4) 正則行列A, B の和 A+B

(5) (1 2)

(6) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

(7) $\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

(8) (2025)

(9) $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

(10) $\begin{pmatrix} 4 & -6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}$

(11) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

(12) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

各行列に対して、以下の手順で逆行列を求めます。

(1) 零行列 O：

逆行列は存在しません。なぜなら、零行列にどんな行列を掛けても零行列にしかなりません。単位行列には決してなりません。

(2) 単位行列 E：

単位行列の逆行列は単位行列自身です。$E^{-1} = E$

(3) 正則行列A, B の積AB：

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。 A,Bが正則なので、それぞれの逆行列が存在します。

(4) 正則行列A, B の和 A+B：

A+B が正則かどうかはわかりません。A+B が正則であるという条件がない場合、逆行列を求めることはできません。AとBが正則でもA+Bが正則とは限りません。

(5) (1 2)：

これは1行2列の行列なので、正方行列ではありません。従って、逆行列は存在しません。

(6) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$：

これは2行3列の行列なので、正方行列ではありません。従って、逆行列は存在しません。

(7) $\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$：

この行列をAとします。逆行列 $A^{-1}$ は次のように計算できます。

$A^{-1} = \frac{1}{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

(8) (2025)：

これは $1 \times 1$ 行列とみなせます。従って、逆行列は $\frac{1}{2025}$ となります。

(9) $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$：

この行列をAとします。逆行列 $A^{-1}$ は次のように計算できます。

$\det(A) = (3)(5) - (4)(1) = 15 - 4 = 11$

$A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/11 & -4/11 \\ -1/11 & 3/11 \end{pmatrix}$

(10) $\begin{pmatrix} 4 & -6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}$：

この行列をAとします。

$\det(A) = (4)(9) - (-6)(-6) = 36 - 36 = 0$

行列式が0なので、逆行列は存在しません。

(11) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$：

この行列をAとします。1行目と3行目が同じなので、$\det(A)=0$となり、逆行列は存在しません。

(12) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$：

この行列をAとします。逆行列 $A^{-1}$ は次のように計算できます。

$\det(A) = 2(4*2 - 1*2) - (-1)((-3)*2 - 1*(-1)) + 3((-3)*2 - 4*(-1)) = 2(8-2) + (-6+1) + 3(-6+4) = 12 -5 -6 = 1$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 6 & 8 & -13 \\ 5 & 7 & -11 \\ -2 & -3 & 5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 逆行列は存在しない。

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $B^{-1}A^{-1}$

(4) 与えられた条件だけではわからない。

(5) 逆行列は存在しない。

(6) 逆行列は存在しない。

(7) $\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

(8) $\frac{1}{2025}$

(9) $\begin{pmatrix} 5/11 & -4/11 \\ -1/11 & 3/11 \end{pmatrix}$

(10) 逆行列は存在しない。

(11) 逆行列は存在しない。

(12) $\begin{pmatrix} 6 & 8 & -13 \\ 5 & 7 & -11 \\ -2 & -3 & 5 \end{pmatrix}$