質量 $m$ の物体が、傾斜角 $\theta$ の斜面を初速度 $V$ で上向きに運動し、距離 $D$ だけ進んで静止した。運動中の物体に働く斜面方向の力 $F$、静止するまでの時間 $t_0$、静止位置 $D$ を求めよ。斜面と物体の静止摩擦係数は $\mu$、動摩擦係数は $\mu'$ であり、$\mu' < \mu$ である。重力加速度の大きさは $g$ である。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体が、傾斜角 $\theta$ の斜面を初速度 $V$ で上向きに運動し、距離 $D$ だけ進んで静止した。運動中の物体に働く斜面方向の力 $F$、静止するまでの時間 $t_0$、静止位置 $D$ を求めよ。斜面と物体の静止摩擦係数は $\mu$、動摩擦係数は $\mu'$ であり、$\mu' < \mu$ である。重力加速度の大きさは $g$ である。

2. 解き方の手順

(a) 運動中の物体に働く $x$ 方向の力 $F$ を求める。

運動中は、重力と動摩擦力が働く。重力の斜面方向の成分は $-mg\sin\theta$ であり、動摩擦力は $- \mu' mg \cos\theta$ である。したがって、$x$ 方向の力 $F$ は、

$$F = -mg\sin\theta - \mu' mg \cos\theta = -mg(\sin\theta + \mu'\cos\theta)$$

(b) 物体が静止するまでの時間 $t_0$ を求める。

運動方程式は $ma = F$ であるから、加速度 $a$ は、

$$a = \frac{F}{m} = -g(\sin\theta + \mu'\cos\theta)$$

等加速度運動の公式 $v = v_0 + at$ を用いる。最終速度 $v = 0$, 初速度 $v_0 = V$ であるから、

$$0 = V + at_0$$

$$t_0 = - \frac{V}{a} = \frac{V}{g(\sin\theta + \mu'\cos\theta)}$$

(c) 物体の静止位置 $D$ を $m, V, F$ で表す。

等加速度運動の公式 $x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ を用いる。初期位置 $x_0 = 0$, 初速度 $v_0 = V$, 時間 $t = t_0$ であるから、

$$D = V t_0 + \frac{1}{2} a t_0^2 = V \frac{V}{g(\sin\theta + \mu'\cos\theta)} + \frac{1}{2} (-g(\sin\theta + \mu'\cos\theta)) \left( \frac{V}{g(\sin\theta + \mu'\cos\theta)} \right)^2$$

$$D = \frac{V^2}{g(\sin\theta + \mu'\cos\theta)} - \frac{1}{2} \frac{V^2}{g(\sin\theta + \mu'\cos\theta)} = \frac{1}{2} \frac{V^2}{g(\sin\theta + \mu'\cos\theta)}$$

ここで、$F = -mg(\sin\theta + \mu'\cos\theta)$ より、$\sin\theta + \mu'\cos\theta = -\frac{F}{mg}$ であるから、

$$D = \frac{1}{2} \frac{V^2}{g(-\frac{F}{mg})} = - \frac{1}{2} \frac{mV^2}{F}$$

ただし、$F$ は負の値であることに注意する。静止条件として、静止摩擦力 $f \le \mu mg \cos\theta$ である必要がある。斜面下向きの力は $mg\sin\theta$ なので、$mg\sin\theta \le \mu mg \cos\theta$ つまり $\tan\theta \le \mu$ が成り立つ必要がある。

3. 最終的な答え

(a) $F = -mg(\sin\theta + \mu'\cos\theta)$

(b) $t_0 = \frac{V}{g(\sin\theta + \mu'\cos\theta)}$

(c) $D = - \frac{mV^2}{2F}$