ある地区において、新聞Aを購読している世帯は全体の50%、新聞Bを購読している世帯は全体の60%、両方を購読している世帯は全体の30%である。どちらも購読していない世帯は8世帯であった。このとき、Aだけ購読している世帯は全体の何%か。また、この地区の世帯数を求めよ。

1. 問題の内容

ある地区において、新聞Aを購読している世帯は全体の50%、新聞Bを購読している世帯は全体の60%、両方を購読している世帯は全体の30%である。どちらも購読していない世帯は8世帯であった。このとき、Aだけ購読している世帯は全体の何%か。また、この地区の世帯数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、各世帯の割合を求めるために、以下の記号を定義します。

* $P(A)$: 新聞Aを購読している世帯の割合

* $P(B)$: 新聞Bを購読している世帯の割合

* $P(A \cap B)$: 新聞AとBの両方を購読している世帯の割合

* $P(\overline{A \cup B})$: どちらも購読していない世帯の割合

問題文より、

* $P(A) = 0.5$

* $P(B) = 0.6$

* $P(A \cap B) = 0.3$

* $P(\overline{A \cup B}) = \frac{8}{N}$ (Nは全体の世帯数)

AまたはBを購読している世帯の割合は、和集合の公式から、

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$P(A \cup B) = 0.5 + 0.6 - 0.3 = 0.8$

どちらも購読していない世帯の割合は、AまたはBを購読している世帯の割合の補集合なので、

$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$

$P(\overline{A \cup B}) = 1 - 0.8 = 0.2$

$P(\overline{A \cup B}) = 0.2 = \frac{8}{N}$ であるから、

$N = \frac{8}{0.2} = 40$

したがって、この地区の世帯数は40世帯です。

Aだけを購読している世帯の割合は、$P(A)$から$P(A \cap B)$を引くことで求められます。

$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)$

$P(A \cap \overline{B}) = 0.5 - 0.3 = 0.2$

したがって、Aだけを購読している世帯は全体の20%です。

3. 最終的な答え

Aだけ購読している世帯は全体の20%。

この地区の世帯数は40世帯。