A, B, C, D, E の 5 人が、それぞれ 1 枚ずつ名刺を持っている。この 5 人が 1 枚ずつ名刺を取るとき、1 人だけが自分の名刺を取るような取り方は何通りあるか。

1. 問題の内容

A, B, C, D, E の 5 人が、それぞれ 1 枚ずつ名刺を持っている。この 5 人が 1 枚ずつ名刺を取るとき、1 人だけが自分の名刺を取るような取り方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、自分の名刺を取る 1 人を選ぶ。これは 5 人の中から 1 人を選ぶので、$\binom{5}{1} = 5$ 通りある。

次に、残りの 4 人は誰も自分の名刺を取らないように名刺を取る必要がある。これは完全順列と呼ばれる。4 人の完全順列の数を $D_4$ と表すと、

$D_4 = 4! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$

$D_4 = 24 \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$

$D_4 = 24 \left( \frac{12 - 4 + 1}{24} \right)$

$D_4 = 9$

または、漸化式を利用して求めることもできる。$D_n = (n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$。

$D_1 = 0$, $D_2 = 1$ なので、

$D_3 = 2(D_2 + D_1) = 2(1 + 0) = 2$

$D_4 = 3(D_3 + D_2) = 3(2 + 1) = 9$

したがって、求める場合の数は、$\binom{5}{1} \times D_4 = 5 \times 9 = 45$ 通りとなる。

3. 最終的な答え

45通り