50人にAとBの2問のクイズを出題したところ、Aを正解した人は27人、Bを正解した人は13人、A, Bをともに正解した人は4人いた。次の人数を求めよ。 (1) AとBの少なくとも一方を正解した人 (2) AもBも正解しなかった人 (3) Aは正解したが、Bは正解しなかった人

1. 問題の内容

50人にAとBの2問のクイズを出題したところ、Aを正解した人は27人、Bを正解した人は13人、A, Bをともに正解した人は4人いた。次の人数を求めよ。

(1) AとBの少なくとも一方を正解した人

(2) AもBも正解しなかった人

(3) Aは正解したが、Bは正解しなかった人

2. 解き方の手順

まず、与えられた情報を整理する。

* 全体集合の人数：$n(U) = 50$

* Aを正解した人数：$n(A) = 27$

* Bを正解した人数：$n(B) = 13$

* AもBも正解した人数：$n(A \cap B) = 4$

(1) AとBの少なくとも一方を正解した人数は、$n(A \cup B)$ で表される。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ の公式を用いる。

$n(A \cup B) = 27 + 13 - 4 = 36$

(2) AもBも正解しなかった人数は、AとBのどちらも正解しなかった人数なので、

$n(\overline{A \cup B})$ で表される。これは、全体集合からAとBの少なくとも一方を正解した人数を引けばよい。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 50 - 36 = 14$

(3) Aは正解したが、Bは正解しなかった人数は、$n(A \cap \overline{B})$ で表される。

これは、Aを正解した人数からAもBも正解した人数を引けばよい。

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B) = 27 - 4 = 23$

3. 最終的な答え

(1) 36人

(2) 14人

(3) 23人