確率変数 $X, Y$ の同時確率密度関数 $f(x, y)$ が与えられています。 $ f(x, y) = \begin{cases} cx & (0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases} $ 以下の問題を解きます。 (1) $c = 2$ を示す。 (2) 周辺確率密度関数 $f_1(x)$ と $f_2(y)$ を求める。 (3) $X$ と $Y$ が統計的に独立かどうかを調べる。 (4) $Z = X + Y$ の確率密度関数を求める。 (5) $P(X \leq 1/2, Y \geq 1/3)$ を求める。 (6) $E[X + Y]$ と $E[XY]$ を求める。

1. 問題の内容

確率変数 $X, Y$ の同時確率密度関数 $f(x, y)$ が与えられています。

$f(x, y) = \begin{cases} cx & (0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}$

以下の問題を解きます。

(1) $c = 2$ を示す。

(2) 周辺確率密度関数 $f_1(x)$ と $f_2(y)$ を求める。

(3) $X$ と $Y$ が統計的に独立かどうかを調べる。

(4) $Z = X + Y$ の確率密度関数を求める。

(5) $P(X \leq 1/2, Y \geq 1/3)$ を求める。

(6) $E[X + Y]$ と $E[XY]$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $c = 2$ を示す。

確率密度関数の性質より、全空間での積分は1になるはずです。つまり、

$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) dx dy = 1$

与えられた範囲では、

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} cx dx dy = 1$

$c \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x dx dy = c \int_{0}^{1} [x^2/2]_0^1 dy = c \int_{0}^{1} (1/2) dy = c/2 [y]_0^1 = c/2 = 1$

したがって、$c = 2$ であることが示されました。

(2) 周辺確率密度関数 $f_1(x)$ と $f_2(y)$ を求める。

$f_1(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) dy = \int_{0}^{1} 2x dy = 2x[y]_0^1 = 2x$ (for $0 \leq x \leq 1$)

$f_2(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) dx = \int_{0}^{1} 2x dx = 2[x^2/2]_0^1 = 1$ (for $0 \leq y \leq 1$)

(3) $X$ と $Y$ が統計的に独立かどうかを調べる。

$X$ と $Y$ が独立であるためには、$f(x, y) = f_1(x)f_2(y)$ が成り立つ必要があります。

$f_1(x)f_2(y) = (2x)(1) = 2x$

これは $f(x, y) = 2x$ と等しいので、$X$ と $Y$ は統計的に独立です。

(4) $Z = X + Y$ の確率密度関数を求める。

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z - x) dx$

$f_X(x) = f_1(x) = 2x$ (for $0 \leq x \leq 1$)

$f_Y(y) = f_2(y) = 1$ (for $0 \leq y \leq 1$)

したがって、$f_Y(z - x) = 1$ (for $0 \leq z - x \leq 1$, i.e., $z - 1 \leq x \leq z$)

$f_Z(z) = \int_{\max(0, z-1)}^{\min(1, z)} 2x dx$

場合分けが必要となります。

$0 \leq z \leq 1$ の場合、

$f_Z(z) = \int_{0}^{z} 2x dx = [x^2]_0^z = z^2$

$1 < z \leq 2$ の場合、

$f_Z(z) = \int_{z-1}^{1} 2x dx = [x^2]_{z-1}^1 = 1 - (z-1)^2 = 1 - (z^2 - 2z + 1) = 2z - z^2$

したがって、

$f_Z(z) = \begin{cases} z^2 & (0 \leq z \leq 1) \\ 2z - z^2 & (1 < z \leq 2) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}$

(5) $P(X \leq 1/2, Y \geq 1/3)$ を求める。

$P(X \leq 1/2, Y \geq 1/3) = \int_{0}^{1/2} \int_{1/3}^{1} 2x dy dx = \int_{0}^{1/2} 2x [y]_{1/3}^{1} dx = \int_{0}^{1/2} 2x (1 - 1/3) dx = \int_{0}^{1/2} (4/3)x dx = (4/3)[x^2/2]_0^{1/2} = (4/3)(1/8) = 1/6$

(6) $E[X + Y]$ と $E[XY]$ を求める。

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_1(x) dx = \int_{0}^{1} x (2x) dx = \int_{0}^{1} 2x^2 dx = 2[x^3/3]_0^1 = 2/3$

$E[Y] = \int_{-\infty}^{\infty} y f_2(y) dy = \int_{0}^{1} y (1) dy = [y^2/2]_0^1 = 1/2$

$E[X + Y] = E[X] + E[Y] = 2/3 + 1/2 = 7/6$

$E[XY] = E[X]E[Y]$ (since X and Y are independent) $= (2/3)(1/2) = 1/3$

3. 最終的な答え

(1) $c = 2$

(2) $f_1(x) = \begin{cases} 2x & (0 \leq x \leq 1) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}$, $f_2(y) = \begin{cases} 1 & (0 \leq y \leq 1) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}$

(3) $X$ と $Y$ は統計的に独立

(4) $f_Z(z) = \begin{cases} z^2 & (0 \leq z \leq 1) \\ 2z - z^2 & (1 < z \leq 2) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}$

(5) $P(X \leq 1/2, Y \geq 1/3) = 1/6$

(6) $E[X + Y] = 7/6$, $E[XY] = 1/3$