問題は、不等式 $\left|\frac{2024n}{1-46n} + 44\right| < \frac{1}{2025}$ を満たす最小の整数 $n$ を求めるものです。

1. 問題の内容

問題は、不等式 $\left|\frac{2024n}{1-46n} + 44\right| < \frac{1}{2025}$ を満たす最小の整数 $n$ を求めるものです。

2. 解き方の手順

まず、絶対値の不等式を外します。

$-\frac{1}{2025} < \frac{2024n}{1-46n} + 44 < \frac{1}{2025}$

次に、各辺から44を引きます。

$-\frac{1}{2025} - 44 < \frac{2024n}{1-46n} < \frac{1}{2025} - 44$

$-\frac{1+44 \cdot 2025}{2025} < \frac{2024n}{1-46n} < \frac{1-44 \cdot 2025}{2025}$

$-\frac{89101}{2025} < \frac{2024n}{1-46n} < \frac{-89099}{2025}$

ここで、$1-46n$ の符号によって場合分けを行います。

(1) $1-46n > 0$ のとき、つまり $n < \frac{1}{46}$ のとき

$-\frac{89101}{2025}(1-46n) < 2024n < \frac{-89099}{2025}(1-46n)$

$-\frac{89101}{2025} + \frac{89101 \cdot 46n}{2025} < 2024n < \frac{-89099}{2025} + \frac{89099 \cdot 46n}{2025}$

$\frac{89101 \cdot 46}{2025} n - 2024 n < \frac{89101}{2025}$ かつ $2024n - \frac{89099 \cdot 46}{2025} n < \frac{-89099}{2025}$

$\frac{4098646 - 4108500}{2025} n < \frac{89101}{2025}$ かつ $\frac{4108500 - 4098646}{2025} n < \frac{-89099}{2025}$

$\frac{-9854}{2025} n < \frac{89101}{2025}$ かつ $\frac{9854}{2025} n < \frac{-89099}{2025}$

$-\frac{89101}{9854} < n$ かつ $n < -\frac{89099}{9854}$

約 -9.04 < n かつ n < 約 -9.04

$n$ は整数なので、-9.04 < n < -9.04 を満たす整数は存在しない。

(2) $1-46n < 0$ のとき、つまり $n > \frac{1}{46}$ のとき

$-\frac{89101}{2025}(1-46n) > 2024n > \frac{-89099}{2025}(1-46n)$

$-\frac{89101}{2025} + \frac{89101 \cdot 46n}{2025} > 2024n > \frac{-89099}{2025} + \frac{89099 \cdot 46n}{2025}$

$\frac{89101 \cdot 46}{2025} n - 2024 n > \frac{89101}{2025}$ かつ $2024n - \frac{89099 \cdot 46}{2025} n > \frac{-89099}{2025}$

$\frac{4098646 - 4108500}{2025} n > \frac{89101}{2025}$ かつ $\frac{4108500 - 4098646}{2025} n > \frac{-89099}{2025}$

$\frac{-9854}{2025} n > \frac{89101}{2025}$ かつ $\frac{9854}{2025} n > \frac{-89099}{2025}$

$n < -\frac{89101}{9854}$ かつ $n > -\frac{89099}{9854}$

$n < -9.04$ かつ $n > -9.04$

$n > \frac{1}{46}$ を満たす最小の整数 $n$ は $1$ である。このとき、 $n= -9$は $n< -9.04$ かつ $n > -9.04$ を満たさない。

$n=1$とすると、 $\left|\frac{2024}{1-46}+44\right| = \left|\frac{2024}{-45}+44\right| = \left|\frac{2024-44*45}{-45}\right| = \left|\frac{2024-1980}{-45}\right| = \left|\frac{44}{-45}\right| = \frac{44}{45} = 0.9777...$。これは $\frac{1}{2025}=0.0004938...$ より大きく成り立たない。

$f(n) = \frac{2024n}{1-46n}$として、$n$が十分に大きければ$f(n)$は-44に近く、$\left|\frac{2024n}{1-46n} + 44\right| < \frac{1}{2025}$ を満たす。

$n= -9$を試してみる。$\left|\frac{2024(-9)}{1-46(-9)}+44\right| = \left|\frac{-18216}{415}+44\right| = \left|\frac{-18216+44(415)}{415}\right| = \left|\frac{-18216+18260}{415}\right| = \left|\frac{44}{415}\right| = \frac{44}{415} = 0.1060...$。 これは $\frac{1}{2025}$ より大きくて成り立たない。

$n= -10$を試してみる。$\left|\frac{2024(-10)}{1-46(-10)}+44\right| = \left|\frac{-20240}{461}+44\right| = \left|\frac{-20240+44(461)}{461}\right| = \left|\frac{-20240+20284}{461}\right| = \left|\frac{44}{461}\right| = \frac{44}{461} = 0.0954...$。これも成り立たない。

$n= -900$を試してみる。$\left|\frac{2024(-900)}{1-46(-900)}+44\right| = \left|\frac{-1821600}{41401}+44\right| = \left|\frac{-1821600+44(41401)}{41401}\right| = \left|\frac{-1821600+1821644}{41401}\right| = \left|\frac{44}{41401}\right| = \frac{44}{41401} = 0.001062...$。これも成り立たない。

$n = -\frac{89099}{9854}$付近で考える

$n = -9.042$。整数ではないので、$-10$から考える。

$-18216 n / (1-46 n) + 44= 1/2025$ の時、$n \approx -9098500 + .../.....$となる

$\frac{44}{45}> \frac{1}{2025}$

$\left|\frac{2024n}{1-46n} + 44\right| < \frac{1}{2025}$

$\frac{-1}{2025} < \frac{2024n}{1-46n} + 44 < \frac{1}{2025}$

$\frac{-1}{2025} - 44 < \frac{2024n}{1-46n} < \frac{1}{2025} - 44$

$\frac{-89101}{2025} < \frac{2024n}{1-46n} < \frac{-89099}{2025}$

$\frac{-89101(1-46n)}{2025} < 2024n < \frac{-89099(1-46n)}{2025}$

$2024n$に近づくには、 $2024n/(1-46n)$ が$-44$に近づくようにする必要がある。

$n= -91800$のあたりで条件を満たす。しかし最小の$n$が求められない。

3. 最終的な答え

与えられた条件下で、不等式を満たす最小の整数 $n$ を正確に求めるのは困難です。

近似的な解法や数値計算を用いる必要があるかもしれません。