$\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} = 3$ のとき、$\frac{xy+yz+zx}{ab+bc+ca}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} = 3$ のとき、$\frac{xy+yz+zx}{ab+bc+ca}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} = 3$ より、以下の関係が得られます。

$a = 3x$

$b = 3y$

$c = 3z$

これを $\frac{xy+yz+zx}{ab+bc+ca}$ に代入します。

$\frac{xy+yz+zx}{ab+bc+ca} = \frac{xy+yz+zx}{(3x)(3y)+(3y)(3z)+(3z)(3x)} = \frac{xy+yz+zx}{9xy+9yz+9zx}$

分子の $xy+yz+zx$ で分母の $9xy+9yz+9zx$ をくくり出すと

$\frac{xy+yz+zx}{9(xy+yz+zx)}$

$xy+yz+zx$を約分して

$\frac{1}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{9}$