確率変数 $X$ と $Y$ の確率分布が与えられています。 $X$ は $1$ を確率 $\frac{2}{3}$ で、$3$ を確率 $\frac{1}{3}$ でとります。 $Y$ は $2$ を確率 $\frac{4}{5}$ で、$4$ を確率 $\frac{1}{5}$ でとります。 このとき、$X+Y$ の分散を求める問題です。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ と $Y$ の確率分布が与えられています。

$X$ は $1$ を確率 $\frac{2}{3}$ で、$3$ を確率 $\frac{1}{3}$ でとります。

$Y$ は $2$ を確率 $\frac{4}{5}$ で、$4$ を確率 $\frac{1}{5}$ でとります。

このとき、$X+Y$ の分散を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$X$ と $Y$ の平均 $E[X], E[Y]$ と分散 $V[X], V[Y]$ を求めます。

$X$ と $Y$ は独立であると仮定します。そうすると、$V[X+Y] = V[X] + V[Y]$ が成り立ちます。

平均 $E[X]$ は

$E[X] = 1 \cdot \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$

平均 $E[Y]$ は

$E[Y] = 2 \cdot \frac{4}{5} + 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{8}{5} + \frac{4}{5} = \frac{12}{5}$

分散 $V[X]$ は

$E[X^2] = 1^2 \cdot \frac{2}{3} + 3^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + 3 = \frac{11}{3}$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{11}{3} - (\frac{5}{3})^2 = \frac{11}{3} - \frac{25}{9} = \frac{33}{9} - \frac{25}{9} = \frac{8}{9}$

分散 $V[Y]$ は

$E[Y^2] = 2^2 \cdot \frac{4}{5} + 4^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{16}{5} + \frac{16}{5} = \frac{32}{5}$

$V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = \frac{32}{5} - (\frac{12}{5})^2 = \frac{32}{5} - \frac{144}{25} = \frac{160}{25} - \frac{144}{25} = \frac{16}{25}$

よって、$X+Y$ の分散は

$V[X+Y] = V[X] + V[Y] = \frac{8}{9} + \frac{16}{25} = \frac{8 \cdot 25}{9 \cdot 25} + \frac{16 \cdot 9}{25 \cdot 9} = \frac{200}{225} + \frac{144}{225} = \frac{344}{225}$

3. 最終的な答え

$\frac{344}{225}$