右図の三角形ABCにおいて、角Aは60°、角Bは45°、辺ACの長さは$\sqrt{6}$である。このとき、辺BCの長さ$a$を求める。

1. 問題の内容

右図の三角形ABCにおいて、角Aは60°、角Bは45°、辺ACの長さは$\sqrt{6}$である。このとき、辺BCの長さ$a$を求める。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いる。正弦定理とは、三角形ABCにおいて、各辺の長さをa, b, c、それぞれの対角の大きさをA, B, Cとするとき、

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

が成り立つという定理である。

この問題では、$a$（辺BC）と$\sqrt{6}$（辺AC）がわかっており、それぞれの対角の角度が60°と45°であることがわかっている。

したがって、正弦定理より、

$$\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 45^\circ}$$

これを$a$について解く。

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$であるから、

$$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$$

$$a = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$$

$$a = \sqrt{3} \times \sqrt{3}$$

$$a = 3$$

3. 最終的な答え

$a = 3$