次の絶対値を含む方程式と不等式を解く。 (1) $|2x - 4| = x + 1$ (2) $|2x - 4| > x + 1$

1. 問題の内容

次の絶対値を含む方程式と不等式を解く。

(1) $|2x - 4| = x + 1$

(2) $|2x - 4| > x + 1$

2. 解き方の手順

(1) $|2x - 4| = x + 1$

絶対値の定義より、$2x - 4 \geq 0$ のとき、$2x - 4 = x + 1$となり、$2x - 4 < 0$ のとき、$-(2x - 4) = x + 1$となる。

$2x - 4 \geq 0$つまり、$x \geq 2$のとき、

$2x - 4 = x + 1$

$2x - x = 1 + 4$

$x = 5$

これは、$x \geq 2$を満たす。

$2x - 4 < 0$つまり、$x < 2$のとき、

$-(2x - 4) = x + 1$

$-2x + 4 = x + 1$

$-2x - x = 1 - 4$

$-3x = -3$

$x = 1$

これは、$x < 2$を満たす。

(2) $|2x - 4| > x + 1$

絶対値の定義より、$2x - 4 \geq 0$ のとき、$2x - 4 > x + 1$となり、$2x - 4 < 0$ のとき、$-(2x - 4) > x + 1$となる。

$2x - 4 \geq 0$つまり、$x \geq 2$のとき、

$2x - 4 > x + 1$

$2x - x > 1 + 4$

$x > 5$

これは、$x \geq 2$を満たす。よって、$x > 5$

$2x - 4 < 0$つまり、$x < 2$のとき、

$-(2x - 4) > x + 1$

$-2x + 4 > x + 1$

$-2x - x > 1 - 4$

$-3x > -3$

$x < 1$

これは、$x < 2$を満たす。よって、$x < 1$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, 5$

(2) $x < 1, x > 5$