次の2つの問題があります。 (1) 絶対値を含む方程式 $|x-2| = 3x$ を解く。 (2) 絶対値を含む不等式 $|x-2| \le 3x$ を解く。

1. 問題の内容

次の2つの問題があります。

(1) 絶対値を含む方程式 $|x-2| = 3x$ を解く。

(2) 絶対値を含む不等式 $|x-2| \le 3x$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $|x-2| = 3x$ の解き方

絶対値の性質を利用して場合分けをします。

(i) $x-2 \ge 0$ つまり $x \ge 2$ のとき、 $|x-2| = x-2$ であるから、方程式は $x-2 = 3x$ となります。

この方程式を解くと、 $-2 = 2x$ となり、$x = -1$ となります。

しかし、$x \ge 2$ である必要があるため、$x = -1$ は解として不適です。

(ii) $x-2 < 0$ つまり $x < 2$ のとき、 $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ であるから、方程式は $-x+2 = 3x$ となります。

この方程式を解くと、$2 = 4x$ となり、$x = \frac{1}{2}$ となります。

これは、$x < 2$ を満たすので、解として適します。

(2) $|x-2| \le 3x$ の解き方

絶対値の性質を利用して場合分けをします。

(i) $x-2 \ge 0$ つまり $x \ge 2$ のとき、 $|x-2| = x-2$ であるから、不等式は $x-2 \le 3x$ となります。

この不等式を解くと、 $-2 \le 2x$ となり、$x \ge -1$ となります。

$x \ge 2$ と $x \ge -1$ の共通範囲は、$x \ge 2$ です。

(ii) $x-2 < 0$ つまり $x < 2$ のとき、 $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ であるから、不等式は $-x+2 \le 3x$ となります。

この不等式を解くと、$2 \le 4x$ となり、$x \ge \frac{1}{2}$ となります。

$x < 2$ と $x \ge \frac{1}{2}$ の共通範囲は、$\frac{1}{2} \le x < 2$ です。

(i)と(ii)を合わせると、$x \ge 2$ または $\frac{1}{2} \le x < 2$ となり、結局 $x \ge \frac{1}{2}$ となります。

ただし、$3x \ge 0$ である必要があるため、$x \ge 0$ です。これと$x \ge \frac{1}{2}$から、$x \ge \frac{1}{2}$です。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}$

(2) $x \ge \frac{1}{2}$