6枚のカードがあり、表には1から6の整数が書かれ、裏にはそれぞれ表の数から7を引いた数が書かれています。サイコロを投げ、4以下の目ならカードの表の数を点数とし、5以上の目なら裏の数を点数とします。この試行を2回行い、1回目と2回目の点数の積 $Y$ が1となる確率を求めます。

1. 問題の内容

6枚のカードがあり、表には1から6の整数が書かれ、裏にはそれぞれ表の数から7を引いた数が書かれています。サイコロを投げ、4以下の目ならカードの表の数を点数とし、5以上の目なら裏の数を点数とします。この試行を2回行い、1回目と2回目の点数の積 $Y$ が1となる確率を求めます。

2. 解き方の手順

まず、カードの裏面に書かれている数を求めます。

表：1, 2, 3, 4, 5, 6

裏：-6, -5, -4, -3, -2, -1

次に、点数が1になる場合を考えます。点数はサイコロの目によって決まります。

- サイコロの目が4以下の場合、点数はカードの表の数となります。

- サイコロの目が5以上の場合、点数はカードの裏の数となります。

$Y = 1$ となるのは、以下の2つの場合です。

(i) 1回目も2回目も点数が1の場合

(ii) 1回目も2回目も点数が-1の場合

(i) 1回目も2回目も点数が1の場合

1回目の試行で点数が1になる確率：

- サイコロの目が4以下で、カードの表が1である場合。サイコロの目が4以下である確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。カードの表が1である確率は $\frac{1}{6}$。よって確率は $\frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{9}$。

- サイコロの目が5以上で、カードの裏が1であることはありえない。

よって、1回目の点数が1となる確率は $\frac{1}{9}$です。

同様に、2回目の点数が1となる確率も $\frac{1}{9}$です。

したがって、1回目も2回目も点数が1となる確率は $\frac{1}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{81}$ です。

(ii) 1回目も2回目も点数が-1の場合

1回目の試行で点数が-1になる確率：

- サイコロの目が4以下で、カードの表が-1であることはありえない。

- サイコロの目が5以上で、カードの裏が-1である場合。サイコロの目が5以上である確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。カードの裏が-1である確率は $\frac{1}{6}$。よって確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$。

よって、1回目の点数が-1となる確率は $\frac{1}{18}$です。

同様に、2回目の点数が-1となる確率も $\frac{1}{18}$です。

したがって、1回目も2回目も点数が-1となる確率は $\frac{1}{18} \times \frac{1}{18} = \frac{1}{324}$ です。

求める確率は、(i)と(ii)の場合の確率の和です。

$\frac{1}{81} + \frac{1}{324} = \frac{4}{324} + \frac{1}{324} = \frac{5}{324}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{324}$