直径 $d=20$ mm、長さ $l=50$ cmの丸棒が剛体の壁A, Bに固定されている。この棒の中央Cに外力 $P=10$ kNを加えたとき、棒AC間とCB間に生じる応力 $\sigma_{AC}$ と $\sigma_{CB}$ を求め、点Cの変位を求める。丸棒の材質は軟鋼で、縦弾性係数 $E=206$ GPaとする。

1. 問題の内容

直径 $d=20$ mm、長さ $l=50$ cmの丸棒が剛体の壁A, Bに固定されている。この棒の中央Cに外力 $P=10$ kNを加えたとき、棒AC間とCB間に生じる応力 $\sigma_{AC}$ と $\sigma_{CB}$ を求め、点Cの変位を求める。丸棒の材質は軟鋼で、縦弾性係数 $E=206$ GPaとする。

2. 解き方の手順

この問題は不静定問題なので、力の釣り合いの式と変形の適合条件を用いる。

(1) 力の釣り合い

壁A, Bからの反力をそれぞれ $R_A, R_B$ とする。

力の釣り合いの式は、

$R_A + R_B = P$ (1)

(2) 変形の適合条件

点Cの変位を $\delta$ とする。

AC間の伸びと、CB間の縮みが等しいから、

$\delta = \frac{R_A \cdot (l/2)}{A E} = \frac{R_B \cdot (l/2)}{A E}$

よって、$R_A = R_B$ (2)

(3) (1), (2)式より

$R_A = R_B = \frac{P}{2} = \frac{10 \text{ kN}}{2} = 5 \text{ kN}$

(4) 応力の計算

$A = \pi (d/2)^2 = \pi (10 \text{ mm})^2 = 100 \pi \text{ mm}^2 = 100 \pi \times 10^{-6} \text{ m}^2$

$\sigma_{AC} = \frac{R_A}{A} = \frac{5 \times 10^3 \text{ N}}{100 \pi \times 10^{-6} \text{ m}^2} = \frac{5 \times 10^7}{100 \pi} \text{ Pa} = \frac{5 \times 10^5}{\pi} \text{ Pa} \approx 1591.5 \times 10^3 \text{ Pa} = 15.9 \text{ MPa}$

$\sigma_{CB} = \frac{R_B}{A} = \frac{5 \times 10^3 \text{ N}}{100 \pi \times 10^{-6} \text{ m}^2} = \frac{5 \times 10^7}{100 \pi} \text{ Pa} = \frac{5 \times 10^5}{\pi} \text{ Pa} \approx 1591.5 \times 10^3 \text{ Pa} = 15.9 \text{ MPa}$

(5) 点Cの変位の計算

$\delta = \frac{R_A \cdot (l/2)}{A E} = \frac{5 \times 10^3 \text{ N} \times 0.25 \text{ m}}{100 \pi \times 10^{-6} \text{ m}^2 \times 206 \times 10^9 \text{ Pa}} = \frac{1.25 \times 10^3}{206 \times 10^5 \pi} \text{ m} \approx 1.929 \times 10^{-4} \text{ m} = 0.193 \text{ mm}$

3. 最終的な答え

$\sigma_{AC} = 15.9 \text{ MPa}$

$\sigma_{CB} = 15.9 \text{ MPa}$

点Cの変位 $\delta = 0.193 \text{ mm}$