問題は、1から6までの目がそれぞれ$\frac{1}{6}$の確率で出るサイコロを60回投げたとき、奇数の目が出る回数を$X$とする。 (a) 期待値$E(X)$を求める。 (b) 分散$V(X)$を求める。

1. 問題の内容

問題は、1から6までの目がそれぞれ$\frac{1}{6}$の確率で出るサイコロを60回投げたとき、奇数の目が出る回数を$X$とする。

(a) 期待値$E(X)$を求める。

(b) 分散$V(X)$を求める。

2. 解き方の手順

(a) 期待値$E(X)$の計算:

サイコロを1回投げたとき、奇数の目が出る確率は$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$である。

サイコロを60回投げたとき、奇数の目が出る回数$X$は二項分布に従う。

したがって、$X$の期待値は、$E(X) = n \times p$で計算できる。ここで、$n$は試行回数（60回）、$p$は奇数の目が出る確率（$\frac{1}{2}$）である。

$E(X) = 60 \times \frac{1}{2} = 30$

(b) 分散$V(X)$の計算:

二項分布に従う確率変数$X$の分散は、$V(X) = n \times p \times (1-p)$で計算できる。

$V(X) = 60 \times \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{2}) = 60 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 60 \times \frac{1}{4} = 15$

3. 最終的な答え

(a) 期待値 $E(X) = 30$

(b) 分散 $V(X) = 15$