与えられた式 $\sqrt{9 - 6\sqrt{2}}$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{9 - 6\sqrt{2}}$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身 $9 - 6\sqrt{2}$ が $(a - b)^2$ の形に変形できるかどうかを検討します。$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ですから、$9 - 6\sqrt{2}$ をこの形に近づけます。

$9 - 6\sqrt{2} = 9 - 2 \cdot 3 \sqrt{2}$

ここで、$a^2 + b^2 = 9$ で、$ab = 3\sqrt{2}$ となるような $a$ と $b$ を探します。

$a = 3$ かつ $b = \sqrt{2}$ とすると、$a^2 + b^2 = 3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9 + 2 = 11$となり、$a^2 + b^2 = 9$ とはならないので、別の数を探します。

$a = \sqrt{x}$ および $b = \sqrt{y}$ とおくと、$x + y = 9$ および $\sqrt{xy} = 3\sqrt{2}$、つまり、$xy = 18$ です。

$x + y = 9$ および $xy = 18$ を満たす $x$ と $y$ は、$x = 6$ および $y = 3$（またはその逆）です。

したがって、$a = \sqrt{6}$ および $b = \sqrt{3}$ とすると、

$(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 6 - 2\sqrt{18} + 3 = 9 - 2 \sqrt{9 \cdot 2} = 9 - 2 \cdot 3 \sqrt{2} = 9 - 6\sqrt{2}$.

したがって、

$\sqrt{9 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2} = |\sqrt{6} - \sqrt{3}|$.

$\sqrt{6} > \sqrt{3}$ なので、$|\sqrt{6} - \sqrt{3}| = \sqrt{6} - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{6} - \sqrt{3}$