$x = \frac{1}{\sqrt{5}-1}$、$y = \frac{1}{\sqrt{5}+1}$ のとき、以下の問いに答えます。 (1) $x$ と $y$ の分母を有理化します。 (2) $x^2 + y^2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5}-1}$、$y = \frac{1}{\sqrt{5}+1}$ のとき、以下の問いに答えます。

(1) $x$ と $y$ の分母を有理化します。

(2) $x^2 + y^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{5}+1$ を掛けます。

$x = \frac{1}{\sqrt{5}-1} = \frac{1}{\sqrt{5}-1} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} = \frac{\sqrt{5}+1}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{5}+1}{5-1} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$

$y$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{5}-1$ を掛けます。

$y = \frac{1}{\sqrt{5}+1} = \frac{1}{\sqrt{5}+1} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1} = \frac{\sqrt{5}-1}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{5}-1}{5-1} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

(2) $x^2+y^2$ の値を求めます。

$x^2 = (\frac{\sqrt{5}+1}{4})^2 = \frac{(\sqrt{5}+1)^2}{4^2} = \frac{5+2\sqrt{5}+1}{16} = \frac{6+2\sqrt{5}}{16} = \frac{3+\sqrt{5}}{8}$

$y^2 = (\frac{\sqrt{5}-1}{4})^2 = \frac{(\sqrt{5}-1)^2}{4^2} = \frac{5-2\sqrt{5}+1}{16} = \frac{6-2\sqrt{5}}{16} = \frac{3-\sqrt{5}}{8}$

$x^2 + y^2 = \frac{3+\sqrt{5}}{8} + \frac{3-\sqrt{5}}{8} = \frac{3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1)

$x = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$

$y = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

(2)

$x^2+y^2 = \frac{3}{4}$