複素数 $z$ に関する方程式が与えられ、その方程式を満たす点 $z$ 全体の集合がどのような図形になるかを答える問題です。ここでは、(1) $|z+1| = 2|z-2|$ と (2) $|z-2i| = 2|z+i|$ について考えます。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する方程式が与えられ、その方程式を満たす点 $z$ 全体の集合がどのような図形になるかを答える問題です。ここでは、(1) $|z+1| = 2|z-2|$ と (2) $|z-2i| = 2|z+i|$ について考えます。

2. 解き方の手順

(1) $|z+1| = 2|z-2|$

$z = x + yi$ （$x, y$ は実数）とおくと、

$|x+yi+1| = 2|x+yi-2|$

$|(x+1) + yi| = 2|(x-2) + yi|$

$\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x-2)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$(x+1)^2 + y^2 = 4((x-2)^2 + y^2)$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 4(x^2 - 4x + 4 + y^2)$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 4x^2 - 16x + 16 + 4y^2$

$0 = 3x^2 - 18x + 3y^2 + 15$

$0 = x^2 - 6x + y^2 + 5$

$(x-3)^2 - 9 + y^2 + 5 = 0$

$(x-3)^2 + y^2 = 4$

これは、中心が $3$, 半径が $2$ の円を表します。

(2) $|z-2i| = 2|z+i|$

$z = x + yi$ （$x, y$ は実数）とおくと、

$|x+yi-2i| = 2|x+yi+i|$

$|x + (y-2)i| = 2|x + (y+1)i|$

$\sqrt{x^2 + (y-2)^2} = 2\sqrt{x^2 + (y+1)^2}$

両辺を2乗すると、

$x^2 + (y-2)^2 = 4(x^2 + (y+1)^2)$

$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4(x^2 + y^2 + 2y + 1)$

$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4x^2 + 4y^2 + 8y + 4$

$0 = 3x^2 + 3y^2 + 12y$

$0 = x^2 + y^2 + 4y$

$0 = x^2 + (y+2)^2 - 4$

$x^2 + (y+2)^2 = 4$

これは、中心が $-2i$, 半径が $2$ の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $3$, 半径 $2$ の円

(2) 中心 $-2i$, 半径 $2$ の円