与えられた式 $6x^2 - xy - 12y^2 - x + 10y - 2$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 - xy - 12y^2 - x + 10y - 2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を$x$について整理する。

$6x^2 - (y+1)x - (12y^2 - 10y + 2)$

次に、定数項 $12y^2 - 10y + 2$ を因数分解する。

$12y^2 - 10y + 2 = 2(6y^2 - 5y + 1) = 2(2y-1)(3y-1)$

よって、与えられた式は

$6x^2 - (y+1)x - 2(2y-1)(3y-1)$

となる。

これを因数分解することを考える。

$6x^2$ の部分は $2x$ と $3x$ に分解されると考えられる。

$2(2y-1)(3y-1)$ の部分は $(2y-1)$ と $2(3y-1)$ または $2(2y-1)$ と $(3y-1)$ などに分解されると考えられる。

$(2x + ay + b)(3x + cy + d)$の形に因数分解できると仮定する。

展開すると

$6x^2 + (3a+2c)xy + acy^2 + (3b+2d)x + (ad+bc)y + bd$

となる。

$3a+2c = -1$

$ac = -12$

$3b+2d = -1$

$ad+bc = 10$

$bd = -2$

ここで、$b=1, d=-2$ とすると、

$3+2d=-1$より、$2d=-4$ よって、$d=-2$となる。

$a(-2)+c = 10$ より、$-2a+c = 10$となる。

$3a+2c=-1$であるので、$-4a+2c=20$

したがって、$7a = -21$より、$a=-3$

$c=10+2a = 10-6=4$

$ac = (-3)(4) = -12$

よって、$(2x-3y+1)(3x+4y-2)$ となる。

展開して確認すると、

$(2x-3y+1)(3x+4y-2) = 6x^2+8xy-4x-9xy-12y^2+6y+3x+4y-2 = 6x^2 - xy - 12y^2 - x + 10y - 2$

3. 最終的な答え

$(2x-3y+1)(3x+4y-2)$