2次関数 $y = x^2 - (a+4)x + a - 4$ のグラフが、$x$軸から切り取る線分の長さを$l$とする。 (1) $l$を$a$を用いて表す。 (2) $l$は$a=2$のとき、最小値をとる。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - (a+4)x + a - 4$ のグラフが、$x$軸から切り取る線分の長さを$l$とする。

(1) $l$を$a$を用いて表す。

(2) $l$は$a=2$のとき、最小値をとる。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - (a+4)x + a - 4 = 0$ の解を$\alpha, \beta$とすると、$l = |\beta - \alpha|$。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = a+4, \alpha \beta = a-4$。

よって、$l^2 = (\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (a+4)^2 - 4(a-4) = a^2 + 8a + 16 + 16 = a^2 + 4a + 32$。

したがって、$l = \sqrt{a^2 + 4a + 32}$。

(2) $a=2$のとき、$l = \sqrt{2^2 + 4(2) + 32} = \sqrt{4 + 8 + 32} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$。

また、$a^2 + 4a + 32 = (a+2)^2 + 28 \ge 28$ より、$l \ge \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$。

$l$が最小値をとるのは$a = -2$ のときで、その最小値は $l = \sqrt{(-2)^2 + 4(-2) + 32} = \sqrt{4 - 8 + 32} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$。

3. 最終的な答え

(1)

$l = \sqrt{a^2 + 4a + 32}$

(2)

$a = -2$

$2\sqrt{7}$