数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+1} = 6a_n - 3^{n+1}$ および初期条件 $a_1 = 9$ を満たすとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+1} = 6a_n - 3^{n+1}$ および初期条件 $a_1 = 9$ を満たすとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を $3^{n+1}$ で割ります。

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{6a_n}{3^{n+1}} - \frac{3^{n+1}}{3^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = 2\frac{a_n}{3^n} - 1$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、漸化式は次のようになります。

$b_{n+1} = 2b_n - 1$

この漸化式を変形します。

$b_{n+1} - 1 = 2(b_n - 1)$

$c_n = b_n - 1$ とおくと、漸化式は

$c_{n+1} = 2c_n$

これは、初項 $c_1$、公比 $2$ の等比数列です。$c_1$ を計算します。

$c_1 = b_1 - 1 = \frac{a_1}{3^1} - 1 = \frac{9}{3} - 1 = 3 - 1 = 2$

したがって、$c_n = c_1 \cdot 2^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

$b_n = c_n + 1$ なので、$b_n = 2^n + 1$

$a_n = 3^n b_n$ なので、$a_n = 3^n (2^n + 1) = (2\cdot 3)^n + 3^n = 6^n + 3^n$

3. 最終的な答え

$a_n = 6^n + 3^n$