実数 $a$ に対して、xy平面上の放物線 $C: y = (x-a)^2 - 2a^2 + 1$ を考える。 (1) $a$ がすべての実数を動くとき、$C$ が通過する領域を求め、図示せよ。 (2) $a$ が $-1 \le a \le 1$ の範囲を動くとき、$C$ が通過する領域を求め、図示せよ。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、xy平面上の放物線 $C: y = (x-a)^2 - 2a^2 + 1$ を考える。

(1) $a$ がすべての実数を動くとき、$C$ が通過する領域を求め、図示せよ。

(2) $a$ が $-1 \le a \le 1$ の範囲を動くとき、$C$ が通過する領域を求め、図示せよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = (x-a)^2 - 2a^2 + 1$ を $a$ についての二次方程式とみなす。

$a^2$ の項をまとめると

$y = x^2 - 2ax + a^2 - 2a^2 + 1$

$y = x^2 - 2ax - a^2 + 1$

$a^2 + 2xa + (y - x^2 - 1) = 0$

$a$ が実数であるためには、この $a$ についての二次方程式が実数解を持つ必要がある。

したがって、判別式 $D \ge 0$ でなければならない。

$D = (2x)^2 - 4(y - x^2 - 1) = 4x^2 - 4y + 4x^2 + 4 = 8x^2 - 4y + 4$

$D \ge 0$ より

$8x^2 - 4y + 4 \ge 0$

$4y \le 8x^2 + 4$

$y \le 2x^2 + 1$

したがって、求める領域は $y \le 2x^2 + 1$。

(2) $a$ の範囲が $-1 \le a \le 1$ の場合を考える。

$f(a) = a^2 + 2xa + (y - x^2 - 1) = 0$ とおく。

$-1 \le a \le 1$ の範囲に少なくとも1つ解を持つ条件を考える。

(i) $f(-1) \le 0$ または $f(1) \le 0$ の場合

$f(-1) = 1 - 2x + y - x^2 - 1 = -2x + y - x^2$

$f(1) = 1 + 2x + y - x^2 - 1 = 2x + y - x^2$

$f(-1) \le 0 \iff y \le x^2 + 2x$

$f(1) \le 0 \iff y \le x^2 - 2x$

(ii) $f(-1) > 0$ かつ $f(1) > 0$ の場合、$-1 \le a \le 1$ の範囲で $D \ge 0$ かつ $-1 \le \text{軸} \le 1$ が成り立つ必要がある。

$D = 8x^2 - 4y + 4 \ge 0 \iff y \le 2x^2 + 1$

軸は $a = -x$ なので、$-1 \le -x \le 1 \iff -1 \le x \le 1$

したがって、求める領域は

$y \le x^2 + 2x$ または $y \le x^2 - 2x$ または ($y \le 2x^2 + 1$ かつ $-1 \le x \le 1$)

具体的に領域を求めると、

$y \le x^2 + 2x$ かつ $-1 \le x \le 1$ のとき、$-1 \le y \le 3$

$y \le x^2 - 2x$ かつ $-1 \le x \le 1$ のとき、$-1 \le y \le 3$

$y \le 2x^2 + 1$ かつ $-1 \le x \le 1$ のとき、$-1 \le x \le 1$ において、$2x^2 + 1$ は $x=0$ で最小値 $1$ をとり、$x=\pm 1$ で最大値 $3$ をとる。したがって、$y \le 3$。

これらを考慮すると、求める領域は、$y \le x^2 + 2x$ または $y \le x^2 - 2x$ で、$y \le 2x^2 + 1$ かつ $-1 \le x \le 1$。

$y \le x^2 + 2x, \quad -1 \le x \le 1$

$y \le x^2 - 2x, \quad -1 \le x \le 1$

$y \le 2x^2 + 1, \quad -1 \le x \le 1$

を合わせたもの。

3. 最終的な答え

(1) $y \le 2x^2 + 1$

(2) $y \le \min\{x^2 + 2x, x^2 - 2x, 2x^2 + 1\}$ かつ $-1 \le x \le 1$

言い換えると

$-1 \le x \le 1$ において、$y \le x^2 - 2|x|$