問題は2つの式を因数分解することです。 (4) $2x^3 + 250y^3$ (6) $2x^2 + xy - y^2 + 4x + y + 2$

1. 問題の内容

問題は2つの式を因数分解することです。

(4) $2x^3 + 250y^3$

(6) $2x^2 + xy - y^2 + 4x + y + 2$

2. 解き方の手順

(4) の式から解いていきます。

まず、共通因数である2を括り出します。

$2(x^3 + 125y^3)$

ここで、$125y^3 = (5y)^3$であることに注意すると、因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ が使えます。

$a = x$, $b = 5y$ とすると、

$x^3 + (5y)^3 = (x+5y)(x^2 - x(5y) + (5y)^2)$

$= (x+5y)(x^2 - 5xy + 25y^2)$

したがって、元の式は、

$2(x+5y)(x^2 - 5xy + 25y^2)$

となります。

次に、(6) の式を因数分解します。

$2x^2 + xy - y^2 + 4x + y + 2$

この式は $x$ についての2次式と見なせます。

$2x^2 + (y+4)x - (y^2 - y - 2)$

定数項を因数分解します。

$y^2 - y - 2 = (y-2)(y+1)$

したがって、元の式は

$2x^2 + (y+4)x - (y-2)(y+1)$

となります。

この式を因数分解することを考えます。 $(ax+by+c)(dx+ey+f)$ の形になると予想し、展開して各項の係数を比較します。

式全体は $(2x+ay+b)(x+cy+d)$ の形になると予想できます。

$2x^2 + (2c+a)xy + acy^2 + (2d+b)x + (ad+bc)y + bd$

係数を比較すると、

$2c+a = 1$

$ac = -1$

$2d+b = 4$

$ad+bc = 1$

$bd = -2$

上記の方程式を満たす $a, b, c, d$ を見つけます。

$a=2, c=-1/2$ とすると、$2c+a= -1+2=1$を満たします。

$b=2, d=-1$とすると、$2d+b = -2+2=0 \neq 4$ なので、$b=2, d=-1$は正しくありません。

$b=-2, d=1$とすると、$2d+b = 2-2=0 \neq 4$ なので、$b=-2, d=1$は正しくありません。

$b=1, d=2$とすると、$2d+b = 4+1=5 \neq 4$ なので、$b=1, d=2$は正しくありません。

$b=4, d=-1/2$とすると、$2d+b = -1+4=3 \neq 4$ なので、$b=4, d=-1/2$は正しくありません。

別の方法を考えます。

$2x^2+xy-y^2$ の部分を因数分解すると、$(2x-y)(x+y)$ となります。

$2x^2 + xy - y^2 + 4x + y + 2 = (2x-y+a)(x+y+b)$ の形になると仮定します。

展開すると、

$2x^2+xy-y^2+(2b+a)x+(b-a)y+ab$

$2b+a=4$

$b-a=1$

$ab=2$

$b=a+1$ を $2b+a=4$ に代入すると、$2(a+1)+a=4$ より $3a+2=4$, $3a=2$, $a=2/3$.

$b=2/3+1=5/3$

$ab = (2/3)(5/3) = 10/9 \neq 2$.

したがって、この方法ではうまくいきません。

再度整理して、$2x^2 + xy - y^2 + 4x + y + 2$ を見ると、

$(2x-y)(x+y)$ の形を含むはずなので、

$(2x-y+2)(x+y+1)=2x^2+2xy+2x-xy-y^2-y+2x+2y+2=2x^2+xy-y^2+4x+y+2$

が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(4) $2(x+5y)(x^2-5xy+25y^2)$

(6) $(2x-y+2)(x+y+1)$