関数 $y=ax^2$ に関する変化の割合を求める問題が複数あります。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) 関数 $y=2x^2$ について、$x$ の値が 1 から 3 まで増加するとき、および -4 から -1 まで増加するときの変化の割合を求める。 (2) 関数 $y=-x^2$ について、$x$ の値が 2 から 5 まで増加するとき、および -3 から -1 まで増加するときの変化の割合を求める。 (3) 関数 $y=\frac{1}{3}x^2$ および $y=-3x^2$ について、$x$ の値が 2 から 7 まで増加するときの変化の割合を求める。 (4) 関数 $y=ax^2$ で、$x$ の値が 1 から 5 まで増加するときの変化の割合が 4 であるとき、$a$ の値を求める。 関数 $y=ax^2$ で、$x$ の値が -4 から -2 まで増加するときの変化の割合が -12 であるとき、$a$ の値を求める。 関数 $y=ax^2$ と関数 $y=-2x+5$ において、$x$ の値が 2 から 6 まで増加するときの変化の割合が等しいとき、$a$ の値を求める。 関数 $y=x^2$ で、$x$ の値が $t$ から $t+2$ まで増加したときの変化の割合が 6 であるとき、$t$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y=ax^2$ に関する変化の割合を求める問題が複数あります。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) 関数 $y=2x^2$ について、$x$ の値が 1 から 3 まで増加するとき、および -4 から -1 まで増加するときの変化の割合を求める。

(2) 関数 $y=-x^2$ について、$x$ の値が 2 から 5 まで増加するとき、および -3 から -1 まで増加するときの変化の割合を求める。

(3) 関数 $y=\frac{1}{3}x^2$ および $y=-3x^2$ について、$x$ の値が 2 から 7 まで増加するときの変化の割合を求める。

(4) 関数 $y=ax^2$ で、$x$ の値が 1 から 5 まで増加するときの変化の割合が 4 であるとき、$a$ の値を求める。

関数 $y=ax^2$ で、$x$ の値が -4 から -2 まで増加するときの変化の割合が -12 であるとき、$a$ の値を求める。

関数 $y=ax^2$ と関数 $y=-2x+5$ において、$x$ の値が 2 から 6 まで増加するときの変化の割合が等しいとき、$a$ の値を求める。

関数 $y=x^2$ で、$x$ の値が $t$ から $t+2$ まで増加したときの変化の割合が 6 であるとき、$t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

変化の割合は、($y$の増加量) / ($x$の増加量) で求められます。関数 $y=ax^2$ について、$x$ が $x_1$ から $x_2$ まで増加するときの変化の割合は、

$\frac{a x_2^2 - a x_1^2}{x_2 - x_1} = \frac{a(x_2^2 - x_1^2)}{x_2 - x_1} = \frac{a(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)}{x_2 - x_1} = a(x_1 + x_2)$

で求められます。

(1) $y=2x^2$

- 1 から 3 まで: $2(1+3) = 2(4) = 8$

- -4 から -1 まで: $2(-4-1) = 2(-5) = -10$

(2) $y=-x^2$

- 2 から 5 まで: $-1(2+5) = -7$

- -3 から -1 まで: $-1(-3-1) = -1(-4) = 4$

(3)

- $y=\frac{1}{3}x^2$: $\frac{1}{3}(2+7) = \frac{1}{3}(9) = 3$

- $y=-3x^2$: $-3(2+7) = -3(9) = -27$

(4)

- $y=ax^2$ で、$x$ が 1 から 5 まで増加するときの変化の割合が 4: $a(1+5) = 6a = 4$ より $a = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

- $y=ax^2$ で、$x$ が -4 から -2 まで増加するときの変化の割合が -12: $a(-4-2) = -6a = -12$ より $a = \frac{-12}{-6} = 2$

- $y=ax^2$ と $y=-2x+5$ において、$x$ が 2 から 6 まで増加するときの変化の割合が等しい: $a(2+6) = 8a$ と $-2$ が等しいので、$8a = -2$ より $a = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$

- $y=x^2$ で、$x$ が $t$ から $t+2$ まで増加するときの変化の割合が 6: $1(t + t+2) = 2t+2 = 6$ より $2t = 4$ なので $t = 2$

3. 最終的な答え

1. (1) 8, (2) -10

2. (1) -7, (2) 4

3. (1) 3, (2) -27

4. (1) $a=\frac{2}{3}$, (2) $a=2$, (3) $a=-\frac{1}{4}$, (4) $t=2$