与えられた4つの問題は、いずれも2次関数とその定義域が与えられたときに、定義域の端点の値や、値域の端点の値を求める問題です。 (1) $y = \frac{1}{4}x^2$, $a \le x \le 2$, $0 \le y \le 4$. $a$ を求めよ。 (2) $y = ax^2$, $-1 \le x \le 2$, $-8 \le y \le 0$. $a$ を求めよ。 (3) $y = ax^2$, $-3 \le x \le -1$, $3 \le y \le b$. $a, b$ を求めよ。 (4) $y = -\frac{1}{2}x^2$, $a \le x \le 4$, $-18 \le y \le b$. $a, b$ を求めよ。

はい、承知いたしました。それでは、与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた4つの問題は、いずれも2次関数とその定義域が与えられたときに、定義域の端点の値や、値域の端点の値を求める問題です。

(1) $y = \frac{1}{4}x^2$, $a \le x \le 2$, $0 \le y \le 4$. $a$ を求めよ。

(2) $y = ax^2$, $-1 \le x \le 2$, $-8 \le y \le 0$. $a$ を求めよ。

(3) $y = ax^2$, $-3 \le x \le -1$, $3 \le y \le b$. $a, b$ を求めよ。

(4) $y = -\frac{1}{2}x^2$, $a \le x \le 4$, $-18 \le y \le b$. $a, b$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $y = \frac{1}{4}x^2$ は下に凸な放物線なので、$x=0$ を含むとき $y$ の最小値は $0$ です。今、$0 \le y \le 4$ なので、$a \le x \le 2$ が $x=0$ を含む必要があります。したがって、$a \le 0$。また、$x=2$ のとき $y = \frac{1}{4}(2^2) = 1 \le 4$ なので、 $x=a$ のとき $y=4$ となるはずです。つまり、

$4 = \frac{1}{4}a^2$

$a^2 = 16$

$a = \pm 4$

$a \le 0$ なので、$a = -4$。

(2)

関数 $y = ax^2$ で、$-8 \le y \le 0$ なので、$a < 0$ となります。また、$-1 \le x \le 2$ で $x=0$ を含むので、$y$ の最大値は $0$ になります。$y$ の最小値は $x=-1$ か $x=2$ のどちらかです。

$x=-1$ のとき $y = a(-1)^2 = a$

$x=2$ のとき $y = a(2^2) = 4a$

$4a < a$ なので、$y$ の最小値は $4a$ で、$4a = -8$ より $a = -2$。

$y = -2x^2$ のとき、$-1 \le x \le 2$ で $-8 \le y \le 0$ を満たすので、$a=-2$。

(3)

関数 $y = ax^2$ で、$3 \le y$ なので、$a > 0$ です。 $-3 \le x \le -1$ で、常に $x < 0$ なので、$x=-1$ のとき $y=3$ になるはずです。

$3 = a(-1)^2 = a$

したがって、$a = 3$。

$x=-3$ のとき $y = 3(-3)^2 = 27$

したがって、$b=27$。

(4)

関数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ で、$-18 \le y \le b$ なので、$b \le 0$ です。また、上に凸な放物線なので、$x=4$ のとき $y = -\frac{1}{2}(4^2) = -8$。

$-18 \le y$ なので、$x=a$ のとき $y=-18$ となるはずです。

$-18 = -\frac{1}{2}a^2$

$a^2 = 36$

$a = \pm 6$

$a \le x \le 4$ なので、$a \le 4$。したがって、$a = -6$。

また、$b$ は $y$ の最大値なので、$x=0$ を含むとき $b=0$。$a \le x \le 4$ が $x=0$ を含むためには、$a \le 0$ でなければならないので、$a=-6$ は条件を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $a = -4$

(2) $a = -2$

(3) $a = 3$, $b = 27$

(4) $a = -6$, $b = -8$