$P = |x-1| + |x-2| + |x-3|$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$P = |x-1| + |x-2| + |x-3|$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

絶対値を含む式なので、場合分けをして絶対値を外します。

$x$ の値によって、$x-1$, $x-2$, $x-3$ の符号が変わることに注意します。

場合分けは以下のようになります。

(i) $x < 1$ のとき

(ii) $1 \leq x < 2$ のとき

(iii) $2 \leq x < 3$ のとき

(iv) $x \geq 3$ のとき

(i) $x < 1$ のとき、$x-1 < 0$, $x-2 < 0$, $x-3 < 0$ なので、

$|x-1| = -(x-1) = 1-x$

$|x-2| = -(x-2) = 2-x$

$|x-3| = -(x-3) = 3-x$

したがって、

$P = (1-x) + (2-x) + (3-x) = 6 - 3x$

(ii) $1 \leq x < 2$ のとき、$x-1 \geq 0$, $x-2 < 0$, $x-3 < 0$ なので、

$|x-1| = x-1$

$|x-2| = -(x-2) = 2-x$

$|x-3| = -(x-3) = 3-x$

したがって、

$P = (x-1) + (2-x) + (3-x) = 4 - x$

(iii) $2 \leq x < 3$ のとき、$x-1 > 0$, $x-2 \geq 0$, $x-3 < 0$ なので、

$|x-1| = x-1$

$|x-2| = x-2$

$|x-3| = -(x-3) = 3-x$

したがって、

$P = (x-1) + (x-2) + (3-x) = x$

(iv) $x \geq 3$ のとき、$x-1 > 0$, $x-2 > 0$, $x-3 \geq 0$ なので、

$|x-1| = x-1$

$|x-2| = x-2$

$|x-3| = x-3$

したがって、

$P = (x-1) + (x-2) + (x-3) = 3x - 6$

3. 最終的な答え

$$

P =

\begin{cases}

6 - 3x & (x < 1) \\

4 - x & (1 \leq x < 2) \\

x & (2 \leq x < 3) \\

3x - 6 & (x \geq 3)

\end{cases}

$$