(1) 2次関数 $y = -2x^2 - 3x + 3$ のグラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さを求める。 (2) 放物線 $y = x^2 - (k+2)x + 2k$ が $x$ 軸から切り取る線分の長さが 4 であるとき、定数 $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次関数 $y = -2x^2 - 3x + 3$ のグラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さを求める。

(2) 放物線 $y = x^2 - (k+2)x + 2k$ が $x$ 軸から切り取る線分の長さが 4 であるとき、定数 $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = -2x^2 - 3x + 3$ のグラフと $x$ 軸との交点を求める。

$x$ 軸との交点は $y=0$ のときなので、$-2x^2 - 3x + 3 = 0$ を解く。

両辺に -1 をかけて $2x^2 + 3x - 3 = 0$。

解の公式より、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 24}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{4}$

交点の $x$ 座標は $\frac{-3 + \sqrt{33}}{4}$ と $\frac{-3 - \sqrt{33}}{4}$ となる。

線分の長さはこれらの差の絶対値なので、

$\left| \frac{-3 + \sqrt{33}}{4} - \frac{-3 - \sqrt{33}}{4} \right| = \left| \frac{2\sqrt{33}}{4} \right| = \frac{\sqrt{33}}{2}$

(2) $y = x^2 - (k+2)x + 2k$ のグラフと $x$ 軸との交点を求める。

$x$ 軸との交点は $y=0$ のときなので、$x^2 - (k+2)x + 2k = 0$ を解く。

因数分解すると $(x - 2)(x - k) = 0$。

よって、$x = 2, k$。

線分の長さは $|k - 2|$ であり、これが 4 であるので、

$|k - 2| = 4$

$k - 2 = 4$ または $k - 2 = -4$

$k = 6$ または $k = -2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{33}}{2}$

(2) $k = 6, -2$