$a$ は 0 でない実数とする。 2次不等式 $ax^2 - 3a^2x + 2a^3 \le 0$ の解集合を $A$ とする。 2次不等式 $x^2 + x - 2 \ge 0$ の解集合を $B$ とする。 (1) $A \cap B$ が空集合となるような $a$ の値の範囲を求めよ。 (2) $A \cup B$ が実数全体の集合となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は 0 でない実数とする。

2次不等式 $ax^2 - 3a^2x + 2a^3 \le 0$ の解集合を $A$ とする。

2次不等式 $x^2 + x - 2 \ge 0$ の解集合を $B$ とする。

(1) $A \cap B$ が空集合となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) $A \cup B$ が実数全体の集合となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$B$ の解集合を求める。

$x^2 + x - 2 \ge 0$

$(x+2)(x-1) \ge 0$

よって、$x \le -2$ または $x \ge 1$ が $B$ の解集合である。

次に、$A$ の解集合を求める。

$ax^2 - 3a^2x + 2a^3 \le 0$

$a(x^2 - 3ax + 2a^2) \le 0$

$a(x-a)(x-2a) \le 0$

(1) $A \cap B = \emptyset$ となる条件を考える。

(i) $a > 0$ のとき、$A$ の解集合は $a \le x \le 2a$ となる。

このとき、$A \cap B = \emptyset$ となるには、

$2a < 1$ かつ $a > -2$ が必要。よって、$a < \frac{1}{2}$ かつ $a > 0$ となる。

または、$a > -2$ かつ $2a < 1$, $a > 0$ より、$0 < a < \frac{1}{2}$.

(ii) $a < 0$ のとき、$A$ の解集合は $2a \le x \le a$ となる。

このとき、$A \cap B = \emptyset$ となるには、

$a > -2$ かつ $2a > 1$ が必要。しかし、$a<0$ であるから、$2a>1$とはならない。

したがって $A \cap B$ が空集合にならない。

したがって、$0 < a < \frac{1}{2}$

(2) $A \cup B$ が実数全体の集合となる条件を考える。

$B$ の補集合は $-2 < x < 1$ である。

$A \cup B = \mathbb{R}$ となるのは、$A$ が $B$ の補集合を全て含む場合である。

(i) $a > 0$ のとき、$a \le x \le 2a$ が $A$ の解集合である。

このとき、$a \le -2$ または $2a \ge 1$ が必要。

しかし、$a > 0$ より、$a \le -2$ はありえない。

$2a \ge 1$ より $a \ge \frac{1}{2}$。

$a \le -2$ かつ $2a \ge 1$を満たすaは存在しない。

また、$A$ が $B^c=(-2,1)$ を含むには、

$a \le -2$ かつ $2a \ge 1$

$a > 0$ より $a \le -2$ は成り立たない。

$a \le -2$ および $2a \ge 1$ は同時に成り立たない。

(ii) $a < 0$ のとき、$2a \le x \le a$ が $A$ の解集合である。

このとき、$2a \ge -2$ かつ $a \le 1$ が必要である。

$2a \ge -2$ より $a \ge -1$

$a \le 1$ より $a<0$ より $a<0$を満たすので常に成立する。

$-1 \le a < 0$

3. 最終的な答え

(1) $0 < a < \frac{1}{2}$

(2) $-1 \le a < 0$