実数 $x, y$ が方程式 $x^2 + 4xy + 5y^2 - 6y + 9 = 0$ を満たすとき、$x$ と $y$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が方程式 $x^2 + 4xy + 5y^2 - 6y + 9 = 0$ を満たすとき、$x$ と $y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を $x$ について整理すると、

$x^2 + 4yx + (5y^2 - 6y + 9) = 0$ となる。

この方程式を $x$ に関する二次方程式と見て解く。$x$ は実数なので、判別式 $D$ は $D \ge 0$ を満たす必要がある。

判別式 $D$ を計算する。

$D = (4y)^2 - 4(1)(5y^2 - 6y + 9)$

$D = 16y^2 - 20y^2 + 24y - 36$

$D = -4y^2 + 24y - 36$

$D \ge 0$ より、 $-4y^2 + 24y - 36 \ge 0$。

両辺を -4 で割ると、$y^2 - 6y + 9 \le 0$。

$(y - 3)^2 \le 0$ となる。

$(y - 3)^2$ は常に0以上であるから、$(y - 3)^2 = 0$ でなければならない。

したがって、$y = 3$ となる。

$y = 3$ をもとの方程式に代入する。

$x^2 + 4x(3) + 5(3)^2 - 6(3) + 9 = 0$

$x^2 + 12x + 45 - 18 + 9 = 0$

$x^2 + 12x + 36 = 0$

$(x + 6)^2 = 0$

$x = -6$

3. 最終的な答え

$x = -6, y = 3$