$a$ を 0 でない実数とする。2次不等式 $ax^2 - 3a^2x + 2a^3 \le 0$ の解集合を $A$、$x^2 + x - 2 \ge 0$ の解集合を $B$ とする。 (1) $A \cap B$ が空集合となるような $a$ の値の範囲を求める。 (2) $A \cup B$ が実数全体の集合となるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$ を 0 でない実数とする。2次不等式 $ax^2 - 3a^2x + 2a^3 \le 0$ の解集合を $A$、$x^2 + x - 2 \ge 0$ の解集合を $B$ とする。

(1) $A \cap B$ が空集合となるような $a$ の値の範囲を求める。

(2) $A \cup B$ が実数全体の集合となるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + x - 2 \ge 0$ を解く。

$(x+2)(x-1) \ge 0$ より、$x \le -2$ または $x \ge 1$。

したがって、$B = \{x \mid x \le -2 \text{ または } x \ge 1 \}$。

次に、$ax^2 - 3a^2x + 2a^3 \le 0$ を解く。

(1) $a > 0$ のとき、$x^2 - 3ax + 2a^2 \le 0$。

$(x-a)(x-2a) \le 0$。

$a < 2a$ であるから、$a \le x \le 2a$。

$A = \{x \mid a \le x \le 2a \}$。

$A \cap B = \emptyset$ となるのは、

$2a < 1$ かつ $a > -2$の場合、$a \le x \le 2a$の範囲が$x<-2$または$x>1$と共通部分を持たない場合。

つまり，$2a < 1$ かつ $a > -2$であればよい。よって $a<1/2$かつ$a>0$となる。

$0 < a < \frac{1}{2}$のとき、$a \le x \le 2a$ は $-2 \le x \le 1$ と共通部分を持たない。

$a>0$であるから、$0 < a < \frac{1}{2}$.

(2) $a < 0$ のとき、$x^2 - 3ax + 2a^2 \ge 0$。

$(x-a)(x-2a) \ge 0$。

$2a < a$ であるから、$x \le 2a$ または $x \ge a$。

$A = \{x \mid x \le 2a \text{ または } x \ge a \}$。

$A \cap B = \emptyset$ となるのは、

$x \le 2a$ または $x \ge a$ が $-2 \le x \le 1$ と共通部分を持たない場合。

$A \cup B = \mathbb{R}$ となるのは、

$2a \ge -2$ かつ $a \le 1$

$-1 \le a < 0$。

(1) $A \cup B = \mathbb{R}$となるのは、$A$が$B$の補集合を含んでいる場合。

つまり，$2a \ge -2$かつ$a \le 1$となる場合。つまり、$-1 \le a < 0$。

3. 最終的な答え

(1) $0 < a < \frac{1}{2}$

(2) $-1 \le a < 0$