線形写像 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ が、基本ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ に、$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ に写すとき、ベクトル $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ の $f$ による像 $f(\mathbf{v})$ を求めよ。

1. 問題の内容

線形写像 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ が、基本ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ に、$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ に写すとき、ベクトル $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ の $f$ による像 $f(\mathbf{v})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

ベクトル $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ を基本ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の線形結合で表します。

$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

線形写像 $f$ の線形性より、

$f(\mathbf{v}) = f\left( 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = 2 f\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) + 1 f\left( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right)$

問題文より、$f\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ および $f\left( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ なので、

$f(\mathbf{v}) = 2 \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$f(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$