ある行列によって定義される線形写像 $f: \mathbb{K}^4 \to \mathbb{K}^4$ がある。 $f\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$ および $f\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right)$ が与えられている。 (1) $\left(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right) = a\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) + b\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$ を満たす $a, b$ を求めよ。 (2) $\left(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right)$ の $f$ による像を求めよ。

1. 問題の内容

ある行列によって定義される線形写像 $f: \mathbb{K}^4 \to \mathbb{K}^4$ がある。

$f\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$ および $f\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right)$ が与えられている。

(1) $\left(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right) = a\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) + b\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$ を満たす $a, b$ を求めよ。

(2) $\left(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right)$ の $f$ による像を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\left(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right) = a\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) + b\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$ より、

$2a = 6$

$a = 3$

$-b = -2$

$b = 2$

$a = 3$

なので、$a=3, b=2$

(2)

線形写像の性質より、$f(a\mathbf{x} + b\mathbf{y}) = af(\mathbf{x}) + bf(\mathbf{y})$ が成り立つ。

$\left(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right) = 3\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) + 2\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$ なので、

$f\left(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right) = f\left(3\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) + 2\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)\right)$

$= 3f\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) + 2f\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$

$= 3\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) + 2\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right)$

$= \left(\begin{array}{c} 6 \\ 6 \\ 9 \\ 3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ -2 \\ -2 \end{array}\right)$

$= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 7 \\ 1 \end{array}\right)$

3. 最終的な答え

(1) $a=3, b=2$

(2) $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 7 \\ 1 \end{array}\right)$