線形写像 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ が与えられており、基本ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ が $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ に、$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ が $\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ に写像される。このとき、ベクトル $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の $f$ による像 $f(\mathbf{v})$ を求めよ。

1. 問題の内容

線形写像 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ が与えられており、基本ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ が $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ に、$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ が $\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ に写像される。このとき、ベクトル $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の $f$ による像 $f(\mathbf{v})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

線形写像の性質を利用する。ベクトル $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ は、基本ベクトルの線形結合として $\mathbf{v} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ と表せる。

線形写像 $f$ の定義より、$f(c\mathbf{v}) = c f(\mathbf{v})$ （$c$ はスカラー）と $f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})$ が成り立つ。したがって、

$f\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = f\left( 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = 1 \cdot f\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) + 1 \cdot f\left( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right)$

問題文より、$f\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ かつ $f\left( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ なので、

$f\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 - 1 \\ 3 + 0 \\ -2 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$f(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$