2次不等式 $x^2 + ax + 2 > 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つような定数 $a$ の範囲を求める問題です。求める範囲は $\boxed{オ}\sqrt{\boxed{カ}\boxed{キ}} < a < \boxed{ク}\sqrt{\boxed{ケ}}$ の形で答える必要があります。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + ax + 2 > 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つような定数 $a$ の範囲を求める問題です。求める範囲は $\boxed{オ}\sqrt{\boxed{カ}\boxed{キ}} < a < \boxed{ク}\sqrt{\boxed{ケ}}$ の形で答える必要があります。

2. 解き方の手順

2次不等式 $x^2 + ax + 2 > 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つためには、2次関数 $y = x^2 + ax + 2$ のグラフが常に $x$ 軸より上にある必要があります。これは、2次方程式 $x^2 + ax + 2 = 0$ が実数解を持たないことと同値です。

2次方程式 $x^2 + ax + 2 = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D = a^2 - 4(1)(2) = a^2 - 8$ となります。

2次方程式が実数解を持たない条件は $D < 0$ であるので、

$a^2 - 8 < 0$

$a^2 < 8$

$-\sqrt{8} < a < \sqrt{8}$

$-2\sqrt{2} < a < 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

オ: -

カ: 2

キ: 2

ク: 2

ケ: 2

したがって、$-2\sqrt{2} < a < 2\sqrt{2}$ が答えです。