2次関数 $y = -x^2 + (m+2)x - 3m + 2$ のグラフが $x$軸と共有点を持たないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + (m+2)x - 3m + 2$ のグラフが $x$軸と共有点を持たないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の実数解の個数と一致する。したがって、$x$ 軸と共有点を持たない条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が $D < 0$ であることである。

与えられた2次関数 $y = -x^2 + (m+2)x - 3m + 2$ において、$a = -1$, $b = m+2$, $c = -3m+2$ である。

判別式 $D$ は、

$$D = (m+2)^2 - 4(-1)(-3m+2)$$

$$D = m^2 + 4m + 4 - 4(3m-2)$$

$$D = m^2 + 4m + 4 - 12m + 8$$

$$D = m^2 - 8m + 12$$

グラフが $x$ 軸と共有点を持たないための条件は $D < 0$ であるから、

$$m^2 - 8m + 12 < 0$$

$$(m-2)(m-6) < 0$$

したがって、$2 < m < 6$ である。

3. 最終的な答え

$2 < m < 6$