2次関数 $y = -x^2 + (m+2)x - 3m + 2$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。答えは $m \le ア$ と $イ \le m$ の形で表す。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + (m+2)x - 3m + 2$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。答えは $m \le ア$ と $イ \le m$ の形で表す。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフが $x$ 軸と共有点を持つ条件は、2次方程式 $-x^2 + (m+2)x - 3m + 2 = 0$ が実数解を持つことと同値である。

この2次方程式の判別式 $D$ を計算し、$D \ge 0$ となる $m$ の範囲を求める。

まず、与えられた2次関数の式を $-1$ 倍して、2次方程式を $x^2 - (m+2)x + 3m - 2 = 0$ と変形する。

この2次方程式の判別式 $D$ は、

$$D = (m+2)^2 - 4(3m-2) = m^2 + 4m + 4 - 12m + 8 = m^2 - 8m + 12$$

である。

$x$ 軸と共有点を持つためには、$D \ge 0$ である必要がある。

$m^2 - 8m + 12 \ge 0$ を解くために、まず $m^2 - 8m + 12 = 0$ を解く。

$m^2 - 8m + 12 = (m-2)(m-6) = 0$ より、$m=2, 6$ である。

$m^2 - 8m + 12 \ge 0$ となるのは、$m \le 2$ または $6 \le m$ のときである。

3. 最終的な答え

$m \le 2, 6 \le m$

ア = 2

イ = 6