$\mathbb{R}^3$に属するベクトル $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ から、$\mathbb{R}^3$の正規直交基底$u_1$, $u_2$, $u_3$を求める。

1. 問題の内容

$\mathbb{R}^3$に属するベクトル

$v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$,

$v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$,

$v_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$

から、$\mathbb{R}^3$の正規直交基底$u_1$, $u_2$, $u_3$を求める。

2. 解き方の手順

グラム・シュミットの正規直交化法を用いて、正規直交基底を求める。

(1) $u_1$を求める。

$u_1 = \frac{v_1}{||v_1||}$

$||v_1|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$

$u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{bmatrix}$

(2) $v_2$の$u_1$への正射影ベクトルを$p_1$とする。

$p_1 = (v_2 \cdot u_1) u_1$

$v_2 \cdot u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} + 0 = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

$p_1 = 2\sqrt{2} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$

(3) $w_2$を求める。

$w_2 = v_2 - p_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

(4) $u_2$を求める。

$u_2 = \frac{w_2}{||w_2||}$

$||w_2|| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

$u_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$

(5) $v_3$の$u_1$への正射影ベクトルを$p_2$、$u_2$への正射影ベクトルを$p_3$とする。

$p_2 = (v_3 \cdot u_1) u_1$

$v_3 \cdot u_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{bmatrix} = \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + 0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$p_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix}$

$p_3 = (v_3 \cdot u_2) u_2$

$v_3 \cdot u_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix} = -\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$

$p_3 = -\frac{2}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{bmatrix}$

(6) $w_3$を求める。

$w_3 = v_3 - p_2 - p_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 - \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \\ -1 - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \\ 1 - 0 + \frac{2}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{12-3-4}{6} \\ \frac{-6-3+4}{6} \\ \frac{3+2}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{6} \\ -\frac{5}{6} \\ \frac{5}{3} \end{bmatrix}$

(7) $u_3$を求める。

$u_3 = \frac{w_3}{||w_3||}$

$||w_3|| = \sqrt{(\frac{5}{6})^2 + (-\frac{5}{6})^2 + (\frac{5}{3})^2} = \sqrt{\frac{25}{36} + \frac{25}{36} + \frac{100}{36}} = \sqrt{\frac{150}{36}} = \sqrt{\frac{25}{6}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$

$u_3 = \frac{\sqrt{6}}{5} \begin{bmatrix} \frac{5}{6} \\ -\frac{5}{6} \\ \frac{5}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{6}}{6} \\ -\frac{\sqrt{6}}{6} \\ \frac{2\sqrt{6}}{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{6}}{6} \\ -\frac{\sqrt{6}}{6} \\ \frac{\sqrt{6}}{3} \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$u_1 = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{bmatrix}$,

$u_2 = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$,

$u_3 = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{6}}{6} \\ -\frac{\sqrt{6}}{6} \\ \frac{\sqrt{6}}{3} \end{bmatrix}$