ある行列で定まる線形写像 $f: \mathbb{K}^4 \to \mathbb{K}^3$ が与えられている。 $f\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ かつ $f\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}$ である。 (1) ベクトル $\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ の線形結合で表す。 (2) ベクトル $\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$ の $f$ による像を求める。

1. 問題の内容

ある行列で定まる線形写像 $f: \mathbb{K}^4 \to \mathbb{K}^3$ が与えられている。

$f\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ かつ $f\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}$ である。

(1) ベクトル $\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ の線形結合で表す。

(2) ベクトル $\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$ の $f$ による像を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たす $a$ と $b$ を求める。

これは連立方程式として解ける。

$a + b = 8$

$-a + b = 0$

$a - b = 0$

$-a = -4$

第2式と第3式から $a = b$ がわかる。

第1式に代入して $2a = 8$ なので $a = 4$。

したがって $a = 4, b = 4$ となる。

(2) $f\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} = f \left( 4 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + 4 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \right)$

線形性より、

$f\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} = 4 f \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + 4 f \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + 4 \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 8 \\ 12 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -12 \\ 20 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 32 \\ 8 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + 4 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(2)

$f\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 32 \\ 8 \end{pmatrix}$