整式 $P(x)$ を $x^2 - 3x + 2$ で割ると余りが $12x - 5$ であり、$x^2 - x - 2$ で割ると余りが $2x + 15$ である。このとき、$P(x)$ を $x - 1$ で割った余りと、$x^2 - 1$ で割った余りを求める。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $x^2 - 3x + 2$ で割ると余りが $12x - 5$ であり、$x^2 - x - 2$ で割ると余りが $2x + 15$ である。このとき、$P(x)$ を $x - 1$ で割った余りと、$x^2 - 1$ で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ であるから、$P(x)$ を $x^2 - 3x + 2$ で割った余りが $12x - 5$ であるという条件から、

$$P(x) = (x - 1)(x - 2)Q_1(x) + 12x - 5$$

と表せる。ここで、$Q_1(x)$ はある多項式である。

$x = 1$ を代入すると、

$$P(1) = (1 - 1)(1 - 2)Q_1(1) + 12(1) - 5 = 0 + 12 - 5 = 7$$

したがって、$P(x)$ を $x - 1$ で割った余りは $7$ である。

次に、$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ であるから、$P(x)$ を $x^2 - x - 2$ で割った余りが $2x + 15$ であるという条件から、

$$P(x) = (x - 2)(x + 1)Q_2(x) + 2x + 15$$

と表せる。ここで、$Q_2(x)$ はある多項式である。

$P(x)$ を $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ で割った余りを $ax + b$ とすると、

$$P(x) = (x - 1)(x + 1)Q_3(x) + ax + b$$

と表せる。ここで、$Q_3(x)$ はある多項式である。

$P(1) = a(1) + b = a + b = 7$ である。

$x = -1$ を代入すると、

$$P(-1) = (x - 2)(x + 1)Q_2(x) + 2x + 15$$

に代入して、

$$P(-1) = 2(-1) + 15 = -2 + 15 = 13$$

一方、$P(-1) = a(-1) + b = -a + b = 13$ である。

$a + b = 7$ と $-a + b = 13$ を連立して解くと、

$$2b = 20 \implies b = 10$$

$$a = 7 - b = 7 - 10 = -3$$

したがって、$P(x)$ を $x^2 - 1$ で割った余りは $-3x + 10$ である。

3. 最終的な答え

$P(x)$ を $x - 1$ で割った余りは $7$ である。

$P(x)$ を $x^2 - 1$ で割った余りは $-3x + 10$ である。