$a$を実数の定数とする。$\theta$の方程式 $\cos 2\theta + 2(5a-1)\sin \theta - 12a^2 + 6a - 1 = 0$ …(*) がある。 (1) $\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ を用いて表せ。 (2) $a=0$ とする。$0 \le \theta < 2\pi$ において、(*)を解け。 (3) $0 \le \theta < 2\pi$ において、(*)が異なる4個の解をもつとする。 (i) $a$ のとり得る値の範囲を求めよ。 (ii) $0 \le \theta < 2\pi$ における(*)の4個の解を、小さい順に $\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4$ とする。$(\theta_2 - \theta_1) + (\theta_4 - \theta_3) = \pi$ となるような $a$ の値を求めよ。

はい、承知しました。問題に取り組みます。

1. 問題の内容

$a$を実数の定数とする。$\theta$の方程式

$\cos 2\theta + 2(5a-1)\sin \theta - 12a^2 + 6a - 1 = 0$ …(*)

がある。

(1) $\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ を用いて表せ。

(2) $a=0$ とする。$0 \le \theta < 2\pi$ において、(*)を解け。

(3) $0 \le \theta < 2\pi$ において、(*)が異なる4個の解をもつとする。

(i) $a$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(ii) $0 \le \theta < 2\pi$ における(*)の4個の解を、小さい順に $\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4$ とする。$(\theta_2 - \theta_1) + (\theta_4 - \theta_3) = \pi$ となるような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ で表す

倍角の公式より、$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$

(2) $a=0$ のときの方程式を解く

$a=0$ を(*)に代入すると、

$\cos 2\theta + 2(5\cdot 0 - 1)\sin \theta - 12\cdot 0^2 + 6\cdot 0 - 1 = 0$

$\cos 2\theta - 2\sin \theta - 1 = 0$

(1)の結果より、

$1 - 2\sin^2 \theta - 2\sin \theta - 1 = 0$

$-2\sin^2 \theta - 2\sin \theta = 0$

$2\sin^2 \theta + 2\sin \theta = 0$

$2\sin \theta(\sin \theta + 1) = 0$

$\sin \theta = 0$ または $\sin \theta = -1$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で

$\sin \theta = 0$ のとき、$\theta = 0, \pi$

$\sin \theta = -1$ のとき、$\theta = \frac{3\pi}{2}$

(3) (*)が異なる4個の解を持つ条件

$\cos 2\theta + 2(5a-1)\sin \theta - 12a^2 + 6a - 1 = 0$

$1 - 2\sin^2 \theta + 2(5a-1)\sin \theta - 12a^2 + 6a - 1 = 0$

$-2\sin^2 \theta + (10a-2)\sin \theta - 12a^2 + 6a = 0$

$2\sin^2 \theta - (10a-2)\sin \theta + 12a^2 - 6a = 0$

$\sin \theta = t$ とおくと、

$2t^2 - (10a-2)t + 12a^2 - 6a = 0$

$t^2 - (5a-1)t + 6a^2 - 3a = 0$

$(t-2a)(t-3a+1)=0$

$t = 2a, 3a-1$

$\sin \theta = 2a, 3a-1$

$0 \le \theta < 2\pi$ で異なる4つの解を持つためには、

$-1 < 2a < 1$ かつ $-1 < 3a-1 < 1$ かつ $2a \neq 3a-1$が必要

$-1/2 < a < 1/2$ かつ $0 < 3a < 2$ かつ $a \neq 1$

$-1/2 < a < 1/2$ かつ $0 < a < 2/3$ かつ $a \neq 1$

$0 < a < 1/2$

(ii) $(\theta_2 - \theta_1) + (\theta_4 - \theta_3) = \pi$

$\sin \theta = 2a, 3a-1$ で、$\sin \theta_1 = \sin \theta_2 = 2a$, $\sin \theta_3 = \sin \theta_4 = 3a-1$

$\theta_2 - \theta_1 = \pi - 2\theta_1$

$\theta_4 - \theta_3 = \pi - 2\theta_3$

$(\pi - 2\theta_1) + (\pi - 2\theta_3) = \pi$

$2\pi - 2(\theta_1 + \theta_3) = \pi$

$2(\theta_1 + \theta_3) = \pi$

$\theta_1 + \theta_3 = \pi/2$

$\sin \theta_1 = 2a$, $\sin \theta_3 = 3a-1$

$\theta_3 = \pi/2 - \theta_1$

$\sin \theta_3 = \sin (\pi/2 - \theta_1) = \cos \theta_1$

$\sin^2 \theta_1 + \cos^2 \theta_1 = 1$

$(2a)^2 + (3a-1)^2 = 1$

$4a^2 + 9a^2 - 6a + 1 = 1$

$13a^2 - 6a = 0$

$a(13a-6) = 0$

$a = 0, a = 6/13$

$0 < a < 1/2$ より $a=6/13$

3. 最終的な答え

(1) $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$

(2) $\theta = 0, \pi, \frac{3\pi}{2}$

(3) (i) $0 < a < \frac{1}{2}$

(ii) $a = \frac{6}{13}$