線形写像 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ があり、$\mathbb{R}^3$ の基本ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ に、$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ に、$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ に写します。このとき、ベクトル $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の $f$ による像 $f(v)$ を求めよ。

1. 問題の内容

線形写像 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ があり、$\mathbb{R}^3$ の基本ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ に、$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ に、$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ に写します。このとき、ベクトル $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の $f$ による像 $f(v)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

ベクトル $v$ を基本ベクトルの線形結合で表します。

$v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

線形写像の性質を利用して、$f(v)$ を計算します。

$f(v) = f\left(1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)$

$f(v) = 1 \cdot f\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) + 0 \cdot f\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) + 1 \cdot f\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)$

与えられた情報から、$f$ による基本ベクトルの像を代入します。

$f(v) = 1 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$f(v) = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$f(v) = \begin{pmatrix} -1 + 0 + 1 \\ 2 + 0 + 1 \end{pmatrix}$

$f(v) = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$