与えられた平面から平面への線形写像によって、直線 $ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix} $ が再び直線に写されるものをすべて選択する問題です。

1. 問題の内容

与えられた平面から平面への線形写像によって、直線 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$ が再び直線に写されるものをすべて選択する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線上の点を線形写像によって写した結果が、再び直線となる条件を考えます。線形写像を $A$ とすると、与えられた直線は $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を方向ベクトルとし、 $\vec{p} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$ を通る直線です。

この直線を $A$ で写したとき、

$A(t\vec{v} + \vec{p}) = tA\vec{v} + A\vec{p}$ となります。

これが再び直線になるためには、$A\vec{v}$ がゼロベクトルではない必要があります。言い換えると、$\vec{v}$ が $A$ の零空間に属さない必要があります。

つまり、$A\vec{v} \neq \vec{0}$ となる$A$を選べば良いことになります。

各選択肢について $A\vec{v}$ を計算し、ゼロベクトルになるものを除外します。

* 選択肢1: $A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $A\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} \neq \vec{0}$

* 選択肢2: $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $A\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{0}$

* 選択肢3: $A = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $A\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{0}$

* 選択肢4: $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$, $A\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} \neq \vec{0}$

* 選択肢5: $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$, $A\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{0}$

したがって、直線に写されるのは選択肢1と4です。

3. 最終的な答え

選択肢1と4