$A$ が正則な行列であるとき、${}^t A$ も正則であり、かつ $({}^t A)^{-1} = {}^t (A^{-1})$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

$A$ が正則な行列であるとき、${}^t A$ も正則であり、かつ $({}^t A)^{-1} = {}^t (A^{-1})$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

正則な行列 $A$ に対して、$A^{-1}$ が存在し、$AA^{-1} = A^{-1}A = I$ が成り立つ。ここで、$I$ は単位行列である。

${}^t (AB) = {}^t B {}^t A$ という転置の性質を利用する。

$AA^{-1} = A^{-1}A = I$ の両辺を転置すると、

${}^t (AA^{-1}) = {}^t I$

${}^t (A^{-1}A) = {}^t I$

となる。

転置の性質より、

${}^t (A^{-1}) {}^t A = {}^t I$

${}^t A {}^t (A^{-1}) = {}^t I$

となる。

単位行列の転置は単位行列であるから、${}^t I = I$ である。したがって、

${}^t (A^{-1}) {}^t A = I$

${}^t A {}^t (A^{-1}) = I$

これは、${}^t A$ が正則であり、${}^t (A^{-1})$ が ${}^t A$ の逆行列であることを示している。つまり、

$({}^t A)^{-1} = {}^t (A^{-1})$

が成り立つ。

3. 最終的な答え

$A$ が正則な行列であるとき、${}^t A$ も正則であり、$({}^t A)^{-1} = {}^t (A^{-1})$ が成り立つ。