与えられたいくつかの平面から平面への写像のうち、平面全体が1点に写されるものを全て選択する問題です。写像は、2x2の行列 $A$ と2次元ベクトル $b$ を用いて、$x \mapsto Ax + b$ の形で与えられています。

1. 問題の内容

与えられたいくつかの平面から平面への写像のうち、平面全体が1点に写されるものを全て選択する問題です。写像は、2x2の行列 $A$ と2次元ベクトル $b$ を用いて、$x \mapsto Ax + b$ の形で与えられています。

2. 解き方の手順

平面全体が1点に写されるための条件は、$A$ が零行列であることです。つまり、$A$ の全ての成分が0である必要があります。もし、$A$が零行列でなければ、平面全体は点ではなく、一般的に線や平面に写像されます。それぞれの選択肢に対して、行列 $A$ を確認し、それが零行列であるかどうかを調べます。

(1) $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。零行列ではありません。

(2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$。零行列ではありません。

(3) $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$。零行列ではありません。

(4) $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。零行列です。この場合、$x$ がどんなベクトルであっても、$Ax = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となるので、写像は $x \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ となり、平面全体が1点に写されます。

(5) $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$。零行列ではありません。

3. 最終的な答え

平面全体が1点に写される写像は、選択肢 (4) のみです。