与えられた平面から平面への線形写像について、平面全体がある直線に写されるものをすべて選ぶ問題です。これは、与えられた行列のランクが1であるものを探すことと同義です。

1. 問題の内容

与えられた平面から平面への線形写像について、平面全体がある直線に写されるものをすべて選ぶ問題です。これは、与えられた行列のランクが1であるものを探すことと同義です。

2. 解き方の手順

各選択肢について、与えられた行列のランクを計算します。行列のランクが1である場合、その行列に対応する線形写像は平面全体を直線に写します。ランクが0の場合、点に写します。ランクが2の場合、平面全体を平面に写します。

* 選択肢1:

$A_1 = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

行列式は $(-1)(0) - (-2)(-1) = -2 \neq 0$ なので、ランクは2です。

* 選択肢2:

$A_2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$

行列式は $(1)(2) - (-2)(-2) = 2 - 4 = -2 \neq 0$ なので、ランクは2です。

* 選択肢3:

$A_3 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

行列式は $(2)(1) - (-1)(-1) = 2 - 1 = 1 \neq 0$ なので、ランクは2です。

* 選択肢4:

$A_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

これはゼロ行列なので、ランクは0です。これは原点に写像するため、直線に写像しません。

* 選択肢5:

$A_5 = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目が2行目の-2倍なので、ランクは1です。したがって、平面全体を直線に写します。

3. 最終的な答え

選択肢5