与えられた放物線と直線が共有点を持つかどうかを判断し、もし共有点を持つ場合はその座標を求める問題です。3つの問題があります。 (1) $y = x^2$と$y = -x + 2$ (2) $y = -x^2 + 1$と$y = 4x + 5$ (3) $y = 4x^2 - 6x + 1$と$y = 2x - 4$

1. 問題の内容

与えられた放物線と直線が共有点を持つかどうかを判断し、もし共有点を持つ場合はその座標を求める問題です。3つの問題があります。

(1) $y = x^2$と$y = -x + 2$

(2) $y = -x^2 + 1$と$y = 4x + 5$

(3) $y = 4x^2 - 6x + 1$と$y = 2x - 4$

2. 解き方の手順

放物線と直線の式を連立させて、二次方程式を導き出します。その二次方程式の判別式$D$を計算し、$D > 0$ならば共有点は2つ、$D = 0$ならば共有点は1つ、$D < 0$ならば共有点はありません。共有点がある場合は、二次方程式を解いて$x$座標を求め、それを直線（または放物線）の式に代入して$y$座標を求めます。

(1) $x^2 = -x + 2$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x + 2)(x - 1) = 0$

$x = -2, 1$

$x = -2$のとき、$y = -(-2) + 2 = 4$

$x = 1$のとき、$y = -1 + 2 = 1$

(2) $-x^2 + 1 = 4x + 5$

$x^2 + 4x + 4 = 0$

$(x + 2)^2 = 0$

$x = -2$

$y = 4(-2) + 5 = -3$

(3) $4x^2 - 6x + 1 = 2x - 4$

$4x^2 - 8x + 5 = 0$

判別式 $D = (-8)^2 - 4(4)(5) = 64 - 80 = -16$

$D < 0$なので、共有点はありません。

3. 最終的な答え

(1) 共有点あり。座標は $(-2, 4)$と$(1, 1)$

(2) 共有点あり。座標は $(-2, -3)$

(3) 共有点なし。